a. 三角函数正交性
集合：{0(sin0x)，1(cos0x)，sinx，cosx，sin2x，cos2x，…sinnx，cosnx，…sinmx，cosmx，…}
上述集合中任取两个不同元素，其乘积在 [−π，π]上的积分均为 0
b. 傅里叶级数 T=2π
当函数f(x)满足：
f(x)=f(x+2π),T=2π
根据傅里叶公式，则有：
f(x)=2a0+n=1∑∞ancosnx+n=1∑∞bnsinnx
其中，
a0anbn===π1∫−ππf(x)dxπ1∫−ππf(x)cosnxdxπ1∫−ππf(x)sinnxdx
其具体推导如下：
对 T=2π 的周期函数f(x)，可展开如下：
f(x)=n=0∑∞ancosnx+n=0∑∞bnsinnx
b.1 求 a0
对上式两边加积分 ∫−ππdx，有：
∫−ππf(x)dx=∫−ππa0dx+∫−ππn=1∑∞ancosnxdx+∫−ππn=1∑∞bnsinnxdx
由三角函数正交性，易得后两项均为0，所以上式变为：
∫−ππf(x)dx=∫−ππa0dx
即
a0=2π1∫−ππf(x)dx
为保持与 an,bn 格式一致，写作 2a0，此时
a0=π1∫−ππf(x)dx
b.2 求 an
对上式两边加积分 ∫−ππcosmxdx，有：
∫−ππf(x)cosmxdx=∫−ππ2a0cosmxdx+∫−ππn=1∑∞ancosnxcosmxdx+∫−ππn=1∑∞bnsinnxcosmxdx
由三角函数正交性，易得前后两项均为0，所以上式变为：
∫−ππf(x)cosmxdx=∫−ππn=1∑∞ancosnxcosmxdx
且当且仅当 n=m时，右端不为0，即
∫−ππf(x)cosnxdx=∫−ππn=1∑∞ancosnxcosnxdx
计算得
an=π1∫−ππf(x)cosnxdx
b.3 求 bn
对上式两边加积分 ∫−ππsinmxdx，同理可得：
bn=π1∫−ππf(x)sinnxdx
已有周期函数： f(t)=f(t+2L)，T=2L
通过下式推导得其傅里叶级数。
换元：令 x=Lπt，（即 t=πLx）
得：f(t)=f(πLx)=g(x)，其中 g(x)=g(x+2π)，T=2π
其傅里叶级数为：
g(x)=2a0+n=1∑∞ancosnx+n=1∑∞bnsinnx
其中，
a0anbn===π1∫−ππg(x)dxπ1∫−ππg(x)cosnxdxπ1∫−ππg(x)sinnxdx
此时带入 x=Lπt，对应有：
cosnx=cos(Lnπt)
cosnx=sin(Lnπt)
g(x)=f(t)
π1∫−ππdx=π1∫−LLdLπt=L1∫−LLdt
带入上式可得：
f(t)=2a0+n=1∑∞ancos(Lnπt)+n=1∑∞bnsin(Lnπt)
其中，
a0anbn===L1∫−LLf(t)dtL1∫−LLf(t)cos(Lnπt)dtL1∫−LLf(t)sin(Lnπt)dt
工程中： t从0开始，周期为 T=2L，ω=Lπ=T2π，
对应有：∫−LLdt=∫02Ldt=∫0Tdt
其对应傅里叶级数形式为：
f(t)=2a0+n=1∑∞ancosnωt+n=1∑∞bnsinnωt
其中，
a0anbn===T2∫0Tf(t)dtT2∫0Tf(t)cosnωtdtT2∫0Tf(t)sinnωtdt
以上即为三角形式的傅里叶级数推导过程。
傅里叶级数有两种描述方法。第一种即上述三角形式，把一个周期信号描述为多个正余弦信号的加和。
f(t)=2a0+k=1∑∞akcos(kT2πt)+bksin(kT2πt)(1-1)
其中
a0akbk=T2∫−T/2T/2f(t)dt=T2∫−T/2T/2f(t)cos(kT2πt)dt=T2∫−T/2T/2f(t)sin(kT2πt)dt
第二种是指数形式。利用欧拉公式，把式(1-1)中的余弦和正弦换成复指数，并令
ck=2ak−ibk(1-5)
整理之后，可以得到
f(t)=−∞∑∞cke(ikT2πt)(1-6)
其中 ck 是一个复数，其模长表示振幅，辐角表示初相。
ck=F(k)=T1∫−T/2T/2f(t)e−iT2kπtdt(1-7)
在傅里叶级数的基础上进一步拓展，傅里叶积分是处理非周期函数的。能进行傅里叶积分的充分条件是绝对可积，绝对可积有两层含义：
∫−∞∞∣f(t)∣dt=有限值 lim∣t∣→∞f(t)=0
上式意味着
∫−∞∞f(t)dt=有限值
非周期函数可以看作周期无穷大。因此式(1-1)中 a0 = 0，若记 ω=2πk/T，则Δω=2π/T。当
T→∞,Δω→dω。所以
T→∞limT2=πdω
于是式(1-1)变成
f(x)=∫ω=0∞[πdω∫t=−∞∞f(t)cosωtdt]cosωt+[πdω∫t=−∞∞f(t)sinωtdt]sinωt=∫0∞[A(ω)cosωx+B(ω)sinωx]dω
其中
A(ω)=π1∫−∞∞f(t)cosωtdtB(ω)=π1∫−∞∞f(t)sinωtdt
傅里叶变换从傅里叶积分发展而来，两者唯一的区别是 FI 的频率范围在 [0,∞)， FT 的频率范围在 (−∞,∞)。
式 (1-1) 的完整形式为
f(x)=π1{∫ω=−∞∞[∫t=−∞∞f(t)cosωt dt]cosωx dω+∫ω=−∞∞[∫t=−∞∞f(t)sinωt dt]sinωx dω}(1-9)
因为最里层是针对 t 积分，与 ω 和 x 无关，所以可以把外层积分的 cosωx和 sinωx拿到内层积分。
f(x)=π1∫ω=0∞∫t=−∞∞f(t)(cosωtcosωx+sinωtsinωx)dt dω=π1∫0∞∫−∞∞f(t)cosω(t−x)dt dω=π1∫0∞∫−∞∞f(t)2e[iω(t−x)]+e[−iω(t−x)]dt dω=2π1∫−∞∞[∫0∞f(t)eiω(x−t)dω+∫0∞f(t)e−iω(x−t)dω]dt
第二项积分中，用 −ω 换 ω，积分限变为从 −∞ 积到 0：
f(x)=2π1∫−∞∞[∫0∞f(t)eiω(x−t)dω+∫−∞0f(t)eiω(x−t)dω]dt=2π1∫−∞∞[∫−∞∞f(t)eiω(x−t)dω]dt=2π1∫−∞∞F(ω)[∫−∞∞f(t)e−iωtdt]eiωxdω
所以
F(ω)f(t)=∫−∞+∞f(t)e−jωtdt=2π1∫−∞+∞f(t)ejωtdt
逆傅里叶变换中的系数 1/2π就是这么来的。
傅里叶变换存在的条件也是绝对可积。从 f(t) 获得F(ω) 的过程称为傅里叶分析 FA，从F(ω) 重建 f(t) 的过程称作反演 inversion。
离散系统主要通过狄拉克梳状函数δ(t)进行采样
δ(x)={+∞,0,x=0x=0
并且满足
∫−∞+∞δ(x)dx=1
从定义很容易得出这个函数有如下一些性质：
- 对称性质：δ(t)=δ(−t)
- 缩放性质：δ(at)=a1δ(t)
- 筛选性质：∫−∞∞x(t)δ(t−t0)dt=x(t0)
狄拉克函数具有筛选性质，但是每次只能筛选出一个点，那怎样才能有规律的筛选出更多的采样点呢？——狄拉克梳状函数（Dirac comb）
狄拉克梳状函数的本质就是狄拉克 δ 函数用周期为Ts间隔的无穷多级数（多个 δ 函数合并而成），数学表达式为：
δs(t)=n=−∞∑+∞δ(t−nTs)
将离散采样后的信号为：
−∞∑∞δ(t−nTs)x(t)
结合连续非周期系统的傅里叶变换的定义，对上述信号进行 FT 变换
F(ω)=X(jω)=∫−∞∞k=−∞∑∞δ(t−nTs)x(t)e−jωtdt
交换积分与求和的顺序：
Xs(jω)=n=−∞∑∞∫−∞∞(δ(t−nTs)x(t)e−jωt)dt
由 δ(t) 的筛选特性∫−∞∞δ(x−nTs)f(x)dx=f(nTs) 上式可化简为：
Xs(jω)=n=−∞∑∞x(nTs)e−jωnTs
对数字信号而言，我们只有x(t)采样后的信号x[n]，第n个采样发生在时间t=nTs。因此可以将连续信号的的傅里叶变换写成如下形式：
Xs(jω)=n=−∞∑∞x[n]⋅e−jω⋅kTs
对于该结果由于系统仍然式非周期的（或周期无穷大），得到仍然是连续分布jω的谱，仍然无法使用于数字系统中。
假设离散信号为周期信号，设采样间隔为 Ts=Δt，因为这边是周期函数，我们假定 T=NTs，t=nΔt 把 傅里叶级数 FS 的指数形式，即式 (1-7) 离散化：
连续周期信号的傅里叶级数：
ck=F(k)=T1∫−T/2T/2f(t)e−iT2kπtdt(1-7)
因为是周期函数，这一节的积分上下限可以任取，满足上限与下限之差为T即可。
ck=T1∫0Tx(t)e−jT2kπtdt
F(k)=NTs1n=0∑N−1x(nTs)e−jNTs2kπnTsTs
约掉两对 Ts，得到
F(k)=N1n=0∑N−1x(nTs)e−jN2kπn
把 nTs看成一个整体，于是
F[k]=N1n=0∑N−1x[n]e−jN2kπn
F(k) 是以 N 为周期的。
DFS 中时域是周期性的信号，定义在整个实数域上的离散的点。向计算机输入有限长的序列，把这段有限长的序列当作一个周期，做周期延拓，然后再用 DFS。所以 DFS 和 DFT 的公式没什么区别。
知乎–如何区分 DFS、DFT、DTFT