¶ 疲劳分析
¶ 疲劳分析的历史背景
疲劳破环是机械构件中常见的现象，在交变应力工作下的构件，其破坏形式与静载荷作用下截然不同。在交变应力下，构件内的最大应力虽低于材料的屈服极限，但经长期交变应力作用之后，虽然是塑性较好的材料，断裂前没有明显的性变形，也会出现突然断裂。
目前对破坏原因的分析是，由于构件外部形状中的突变及材料不均匀等原因，使构件某些局部的应力特别高，在长期交变应力作用下，应力高的点或材料有缺陷的点逐渐形成了非常细微的裂纹——疲劳源，裂纹尖端处严重应力集中，促使裂纹逐渐扩，当裂纹扩展到一定程度，在偶然的超载冲击下，构件就会发生突然脆性断。如果材料经受的重复应力值低于某特定值便不再发生破坏，便将该特定值称为持久极限。
¶ 应力应变曲线（静态）
应力应变曲线的形状反应材料在外力作用下发生的脆性、塑性、屈服、断裂等各种形变过程。这种应力-应变曲线通常称为工程应力-应变曲线，它与载荷-变形曲线外形相似，但是坐标不同。什么是应力应变曲线–知乎
原理上，聚合物材料具有粘弹性，当应力被移除后，一部分功被用于摩擦效应而被转化成热能，这一过程可用应力应变曲线表示。金属材料具有弹性变形性，若在超过其屈服强度之后 继续加载，材料发生塑性变形直至破坏。这一过程也可用应力应变曲线表示。该过程一般分为：弹性阶段、屈服阶段、强化阶段、局部变形四个阶段。
¶ 滞回曲线（动态）
由于材料存在塑性应变后，在加载和卸载的循环中出现滞回现象，引出了对于循环应力应变行为的讨论，图3展示了材料在循环应变控制下的应力应变行为，我们称这些曲线为迟滞环（hysteresis loop），迟滞环的面积表示了一次循环中耗散的能量。金属疲劳（2）——寿命计算–知乎
由于材料的滞后现象，当材料在周期变形期间所产生的应力对应变(或它们的函数)的闭合曲线图。其间能量的损失，其大小等于回路所包围的面积。例如，固体塑料材料的应力-应变曲线；悬浮体等的液体材料的剪切应力-应变曲线都是很好的事例。 由于材料的黏弹性，在材料的弹性极限内，加上一应力后再移去它，其应力、应变曲线的上升部分和下降部分并不一致，这是由于过程中的能量损耗所致，这也是后续雨流计数结合SN曲线用来预估损伤及寿命的依据) 滞后回线-hysteresis loop
对于任意一个载荷谱，我们可以提取到应力-时间，应变-时间曲线。其中应变–时间曲线下图（左）所示，应力应变曲线下图（右）所示。当材料从a变形至b，将遵循循环应力-应变曲线所描述的路径。在b点，载荷反向加载，材料弹性卸载至c点。当载荷从c到d再次加载时，材料弹性地变形至b(材料记忆了之前的a到b的加载历史)，随后继续沿路径a到d继续变形。图2中bc端并没有影响图3中的a-d的应力-应变路径。同样。图3中的ad应力-应变环，不受图2中幅度较小的fg、de、bc等影响。因此，对于一个变载荷幅的载荷谱，其实也是一个个小的应力应变循环环的组合，这个与载荷的先后顺序无关。理解这个，有助于理解雨流计数法的意义。*疲劳仿真研究系列3-雨流计数法–微信公号：幻想飞翔CAE
统一取对数的底a为10，则N=则可以记为b=6。将S和以对数形式的N绘在一个图里面，然后拟合成一条曲线，则是S-N曲线。当然，实际上S-N诞生的过程肯定不是这么简单的，但是这样的描述非常有利于理解S-N曲线。 *疲疲劳仿真研究系列1——S-N曲线–知乎
描述材料 S-N 曲线的最常用形式幂函数式，即 Sm · N = C，其中， m 与 C 是与材料、应力比、加载方式等有关的常数。两边取对数，有：结构疲劳分析概述 (CSDN)–3.2 材料SN曲线的数学表达式
由上可知，在双对数坐标系下， S-N 曲线为直线。值得说明的是，S-N 曲线描述的是高周应力疲劳，故其使用下限为 103 ~ 104，上限由疲劳极限定义。应力比 R=−1 的对称循环疲劳试验获得的 S-N 曲线为材料的 基本 S-N 曲线。
nCode上描述截距为Sr=2100MPa 和b1=-0.16667，在sDAP上则表示为Intercept=2100，Slope=1/b1=6；
¶ 疲劳损伤与寿命预估
基于S-N曲线判断疲劳寿命的一个比较重要的准则：Miner准则。
Miner准则是几大损伤理论中最简单也最容易理解的。它首先假设一个物体能够承受的最大损伤总量为N，第一次疲劳循环都对其造成了的损伤，第二次疲劳循环都对其造成了的损伤，第三次疲劳循环都对其造成了的损伤。当时材料失效。因此当我们出现多个应力幅的时候，分别计算损伤，然后进行累加即可：
Miner准则虽然简单，但是在应用的时候需要明白它的不足之处：
- 在每个载荷块内，载荷必须是对称约束，即平均应力为0（对不为0的需要进行平均应力修正，一般软件会给出对应的修正算法）
- 在任一给定的应力水平下，累积损伤的速度与以前的载荷历程无关，也就是说，对于每一应力水平，不论在寿命的前期或者后期，每次循环的损伤应该是相同的
- 无论是由高到低或由低到高，加载顺序的变化不影响寿命。
当上述这些假设得到很好的满足的时候，线性损伤的计算可以得到满意的结果。虽然实际中不一定能满足以上情况，但是由于其形式简单，只需要一条线性SN曲线就可以进行计算，所以在工程应用上仍旧最为广泛。
对某载荷谱雨流统计表进行分析，利用miner准则，则可以计算疲劳寿命
¶ 疲劳极限
nCode平均应力修正–Goodman/Gerber–知乎
汽车结构疲劳分析基础——平均应力修正与Haigh图
疲劳损伤计算（Goodman疲劳图，等效幅值）–知乎
基于S-N曲线疲劳分析的几个基本问题探讨-sohu
结构疲劳分析概述–CSDN
¶ 平均应力对疲劳极限的影响
应力载荷循环中平均应力或者应力比 （）的改变对于材料疲劳寿命有重要影响。我们试验测得的S-N曲线通常对应的是应力比为-1的情况（Mean=0）叫做基本S-N曲线，应力比为-1()时的疲劳极限叫做对称循环疲劳极限，用表示。当应力比改变时，材料的疲劳极限和S-N曲线也随之发生变化。指定循环寿命下，随着应力比提高，即平均应力提高，许用应力幅值下降。同样，指定的应力幅值下，随着应力比R提高(应力均值升高，与均向上移动)，材料的疲劳寿命会下降。
总之，拉伸平均应力的存在, 即，对材料疲劳寿命不利；而压缩平均应力的存在，即，对材料疲劳寿命有利。因此在工程中经常采用喷丸、挤压和预应变等工艺处理，使零部件表面产生残余压应力以提高寿命。
有学者认为，应力比之所以能影响到疲劳寿命，是因为平均应力影响微裂纹的开闭，拉伸平均应力作用下，微裂纹处于张开状态，在循环载荷下更容易发生扩展和交联。平均切应力不会导致微裂纹的张开和闭合，按照这种理论，平均切应力不会影响材料疲劳寿命。从试验数据来看，平均切应力实际会影响材料疲劳极限和S-N曲线，但其影响程度确实明显小于平均正应力。
¶ 平均应力修正
疲劳耐久分析中的goodman图是怎么作出来的？
Q：为什么要平均应力修正
A：要利用S-N曲线估计疲劳寿命，需要将实际工作循环应力转换为对称循环应力。
实际上，非循环应力需要两个指标来衡量一个应力循环（幅值、均值），而对称循环应力只需要一个指标（幅值）来表征了。
提供一条线索：
连续路谱信号→离散路谱信号→雨流矩阵（三维）→载荷谱（二维）→名义损伤（一个数值）
工程是简约的逻辑，以上每一步都是基于一定的假设而做出的简化，只是有些假设太强，有些较弱。而但凡统计计算，都会丢掉一定的信息：
1、雨流计数就丢掉了频率信息；
2、而Goodman方程把均值丢掉了；
3、而Miner法则丢掉了载荷分布信息，最后剩下了损伤。
我们通常使用等寿命曲线图来表示应力幅值和平均应力的关系，如下图所示。图中横轴为平均应力，纵轴为应力幅值，同一条曲线上的各个点都能达到相同的疲劳寿命。从图可知，各条等寿命曲线的最右端的点(即与X轴的交点)是重合的，该点坐标为，为材料的拉伸极限。
其中寿命为（即无限寿命）的等寿命曲线最值得关注，这条曲线给出了材料疲劳极限和平均应力之间的关系。
上图还列出了两种不太常用的平均应力修正方案，Bagci和Marin方案。无论哪种修正方案得到的疲劳极限曲线，当时，材料的疲劳极限应力幅值是对称循环疲劳极限，也称作；当时，平均应力都等于拉伸极限 。
上述各种平均应力修正方案，不仅可用于无限寿命情况，也可用于有限寿命情况。对于有限寿命情况，只需将公式中的对称加载疲劳极限换成有限寿命N对应的对称加载应力幅值。
对于有限寿命情况，采用Goodman和Gerber等公式，如果已知实际应力幅值和实际平均应力 ，以及材料特性可以求得等寿命的对称加载应力幅值，然后就可利用基本S-N曲线中对应的N计算疲劳寿命或损伤值。
Gerber建议把这种变化用抛物线来描述，即所谓的Gerber抛物线。如果用屈服极限代替抗拉强度，则为Soderberg（更保守）替代了Goodman，如果用真实断裂强度作为横坐标，则为Morrow修正（激进） 金属疲劳基础 之三 应力-寿命stress-life 设计法–知乎。如下图所示，疲劳图中的三条线分别为Gerber的抛物线方程、Goodman线性方程和Soderberg线性方程。
某一SN曲线（Se=50MPa，Su=300MPa，）对于不同Mean修正后的SN曲线如下图所示：
( X :N Cycles Y : Mean Z : Range )
¶ 疲劳分析的计数法
¶ 几种常见计数方法
*疲劳载荷计算-知乎简要介绍了几种计数方法的类型及大致方法。
以下各种计数方法的截图均来源于*Standard Practices for Cycle Counting in Fatigue Analysis。
穿级计数、峰值计数、程对计数均为单参数输出（一维对应），而雨流计数为二参数输出（From-To或Range-Mean）
1) Level cross counting(穿级计数)
统计完最大值和最小值之后，将幅值划分为n个区段，每个区段与时序的交点个数就是对应的循环次数，其中在Mean值以上的区间（≥）计算正穿越，在Mean值以下的区域计算负穿越。
为了避免高频小幅值频繁穿越，也有考虑增加二级穿越幅值限制条件的穿级计数法，即只有穿越了临界值，同时又穿越了次级临界值时才能记作一次完整的穿越。【不常用】
注：大于Mean的次级穿越为,小于Mean的次级穿越线为，其中为次级穿越与主穿越值的绝对偏移值。
也有另外一种最大损伤的穿级计数法，对第一种穿级计数法的数据进行重拍，先尽可能获取最大的幅值（Range），计算次数，剔除，然后再计算下一幅值等级的计数，……直至结束，该过程中的点可以打乱顺序以满足当前最大幅值的穿越需求，类似于雨流中Range计数。【不常用】
2) Peak Counting（峰值计数）
峰值计数只关心极值，针对已经进行峰谷值采样的数据，大于均值取山峰的值 (不取谷值) ，小于均值通常取山谷的值 （不取峰值） ，采用这种方式通常会输出的最大值和最小值两份结果。
同样为了避免连续高频振动的小幅值的峰谷，可采用穿越均值的峰谷值计数，即每穿越一次与下一次Mean值之间取峰谷值进行计数。【不常用】
也可通过峰谷值重新组合为不同幅值的组合，依次选用最大的峰值最小的谷值组成第一个循环，然后其次，直至全部峰谷值用完。主要体现的幅值的计数。
3) Simple-Range counting(简化的幅度计数)
For this method, a range is defined as the difference between two successive reversals, the range being positive when a valley is followed by a peak and negative when a peak is followed by a valley. The method is illustrated in Fig. 4. Positive ranges, negative ranges, or both, may be counted with this method. If only positive or only negative ranges are counted, then each is counted as one cycle. If both positive and negative ranges are counted, then each is counted as one-half cycle. Ranges smaller than a chosen value are usually elimnated before counting。
这种方式关注的是幅值，可以输出幅值和次数的关系，取完峰谷之后，对任意相邻的峰谷值进行幅值计算，并根据幅值大小划分到对应的区间进行计数，每个峰谷记作0.5次（如果双边正向和负向都计数，下图范例每个过程记为半个循环）。（该方法已基本不推荐使用，Load Assumption for Fatigue Design of Structures and Components P39 3.3.3 Range Counting.Comment）
如果同时考虑每个峰谷区间的Mean值，则可以进行组成二维的分布，如下表所示，类似于简化的程对计数，但未考虑应力应变的滞回特性。
如果只记录正向或负向Range过程，则每个Range记为一个完整的循环 Load Assumption for Fatigue Design of Structures and Components P38 3.3.3 Range Counting只是正向记录。
Range Counting和Range Pair Counting方法一般输出的结果为累计结果，即从最高的Range进行累计，最小幅值绘制的对应的次数为所有之前幅值累计的数值。
4) Range-Pair(程对计数)
雨流计数结果给出的是“Range是多少、Mean是多少”的一个封闭的外载荷循环，在被计数的那个随机时域信号中出现了多少回。上图Figure3所示，忽略Mean的信息，也就是不管Mean相同还是不同，只要Range相同，就把相应的循环数加和在一起，直观上沿Y轴（Mean）进行投影累加计数，将雨流矩阵按照这样一种思路“压缩”后的信息和计数结果，称之为Range Pair计数。* Range Pair计数、穿级计数与峰值计数-汽车测试网【该方法在LMS Tecware 称作为 RangePair acc. Rainflow 】。
Range-Pair计数法有另外一种实现，不通过雨流矩阵进行提取，而是直接对峰谷值时程进行Range提取，*E1049 − 85 (Reapproved 2011) Standard Practices for Cycle Counting in Fatigue Analysis P3 5.4.3 Range-Pair Counting 与DIN 45667采用的方法与三点雨流计数法几乎一致（DIN45667要求重构数据以使得以最值开头，取整数循环，但E1049−85则不要求数据重构，但对雨流残余点进行反向再进行一次三点法雨流计数，但取半循环处理。【该方法在LMS Tecware 称作为 RangePair acc. DIN 】。
注：The use of DIN 45667, published in 1969, is not recommended, since this standard is now obsolete and does not include any reference to fatigue strength under variable stress amplitude, [Buxb92]. *Load Assumption for Fatigue Design of Structures and Components P34 3.2 Standards不推荐使用DIN45667标准。
如果将Range-Pair扩展到Range Pair Mean则为二参数计数方法。
上图中的左图完全根据Mean Range进行统计绘制，Mean进行了向上取整+1处理，右侧绘制方法从最高Mean开始绘制虚线，然后绘制上下两条线体现Range，之后绘制下一段Mean-Range，次数进行累计。
5) Rianflow(雨流计数)
雨流计数算法（也称为“雨流计数方法”）用于疲劳数据分析，以将变化的应力谱减少为一组简单的应力反转组合。它的重要性在于它允许应用Miner规则来评估受复杂载荷作用的结构的疲劳寿命。 该算法由Tatsuo Endo和M. Matsuishi于1968年开发。Downing和Socie在1982年创建了一种被更广泛引用和利用的雨流循环计数算法，在ASTM E 1049-85（疲劳分析中的循环计数的标准实践）中，它已作为许多循环计数算法之一被包括在内。 Igor Rychlik为雨流计数方法给出了数学定义，从而可以根据负载信号的统计属性进行闭式计算。*雨流计数法-知乎
雨流计数法对载荷的时间历程进行计数的过程反映了材料的记忆特性，具有明确的力学概念，因此该方法得到了普遍的认可。雨流计数法 百度百科 *
雨流法的要点是载荷-时间历程的每一部分都参与计数，且只计数一次，一个大的幅值所引起的损伤不受截断它的小循环的影响，截出的小循环迭加到较大的循环和半循环上去。因此可以据累计损伤理论，将等幅实验得到的S-N曲线和雨流法的处理结果输入电子计算机，进行构件的疲劳寿命估算便能得出较满意的结果。雨流计数法 百度百科 *
对于雨流计数法来说，完成一个载荷循环无论用2s，还是1s，最后统计的结果是完全一样的，所以他丢掉了频率信息。与此同时，载荷历程一样，载荷顺序不同，统计的结果也一样。用通俗的语言解释下雨流法计数的优点–知乎
雨流计数在遵循循环应力-应变行为（曲线）所描述的路径的前提下进行计数的方法。
¶ 雨流计数的原则
- 将载荷历程看作多层屋顶，假想有雨滴沿着最大峰或者最大谷处，开始下流。
- 起始于波谷的雨流，遇到比他更低的谷值要停止；起始于波峰的雨流，遇到比他更高的峰值要停止。
- 雨迹遇到另一个雨迹的时候要停止;
- 根据雨流流动的起点和终点画出各个循环，将所有循环逐一取出来，并记录其峰谷值，对数据记录。
雨流计数法是二参数计数，最大幅值和最小幅值，有了此二个参数，循环就完全确定了
三点雨流循环计数法的结果均为全循环，典型段计数后，其后的重复只需考虑重复次数即可
¶ 疲劳分析
¶ 疲劳分析的历史背景
疲劳破环是机械构件中常见的现象，在交变应力工作下的构件，其破坏形式与静载荷作用下截然不同。在交变应力下，构件内的最大应力虽低于材料的屈服极限，但经长期交变应力作用之后，虽然是塑性较好的材料，断裂前没有明显的性变形，也会出现突然断裂。
目前对破坏原因的分析是，由于构件外部形状中的突变及材料不均匀等原因，使构件某些局部的应力特别高，在长期交变应力作用下，应力高的点或材料有缺陷的点逐渐形成了非常细微的裂纹——疲劳源，裂纹尖端处严重应力集中，促使裂纹逐渐扩，当裂纹扩展到一定程度，在偶然的超载冲击下，构件就会发生突然脆性断。如果材料经受的重复应力值低于某特定值便不再发生破坏，便将该特定值称为持久极限。
¶ 应力应变曲线（静态）
应力应变曲线的形状反应材料在外力作用下发生的脆性、塑性、屈服、断裂等各种形变过程。这种应力-应变曲线通常称为工程应力-应变曲线，它与载荷-变形曲线外形相似，但是坐标不同。什么是应力应变曲线–知乎
原理上，聚合物材料具有粘弹性，当应力被移除后，一部分功被用于摩擦效应而被转化成热能，这一过程可用应力应变曲线表示。金属材料具有弹性变形性，若在超过其屈服强度之后 继续加载，材料发生塑性变形直至破坏。这一过程也可用应力应变曲线表示。该过程一般分为：弹性阶段、屈服阶段、强化阶段、局部变形四个阶段。
¶ 滞回曲线（动态）
由于材料存在塑性应变后，在加载和卸载的循环中出现滞回现象，引出了对于循环应力应变行为的讨论，图3展示了材料在循环应变控制下的应力应变行为，我们称这些曲线为迟滞环（hysteresis loop），迟滞环的面积表示了一次循环中耗散的能量。金属疲劳（2）——寿命计算–知乎
由于材料的滞后现象，当材料在周期变形期间所产生的应力对应变(或它们的函数)的闭合曲线图。其间能量的损失，其大小等于回路所包围的面积。例如，固体塑料材料的应力-应变曲线；悬浮体等的液体材料的剪切应力-应变曲线都是很好的事例。 由于材料的黏弹性，在材料的弹性极限内，加上一应力后再移去它，其应力、应变曲线的上升部分和下降部分并不一致，这是由于过程中的能量损耗所致，这也是后续雨流计数结合SN曲线用来预估损伤及寿命的依据) 滞后回线-hysteresis loop
对于任意一个载荷谱，我们可以提取到应力-时间，应变-时间曲线。其中应变–时间曲线下图（左）所示，应力应变曲线下图（右）所示。当材料从a变形至b，将遵循循环应力-应变曲线所描述的路径。在b点，载荷反向加载，材料弹性卸载至c点。当载荷从c到d再次加载时，材料弹性地变形至b(材料记忆了之前的a到b的加载历史)，随后继续沿路径a到d继续变形。图2中bc端并没有影响图3中的a-d的应力-应变路径。同样。图3中的ad应力-应变环，不受图2中幅度较小的fg、de、bc等影响。因此，对于一个变载荷幅的载荷谱，其实也是一个个小的应力应变循环环的组合，这个与载荷的先后顺序无关。理解这个，有助于理解雨流计数法的意义。*疲劳仿真研究系列3-雨流计数法–微信公号：幻想飞翔CAE
统一取对数的底a为10，则N=则可以记为b=6。将S和以对数形式的N绘在一个图里面，然后拟合成一条曲线，则是S-N曲线。当然，实际上S-N诞生的过程肯定不是这么简单的，但是这样的描述非常有利于理解S-N曲线。 *疲疲劳仿真研究系列1——S-N曲线–知乎
描述材料 S-N 曲线的最常用形式幂函数式，即 Sm · N = C，其中， m 与 C 是与材料、应力比、加载方式等有关的常数。两边取对数，有：结构疲劳分析概述 (CSDN)–3.2 材料SN曲线的数学表达式
由上可知，在双对数坐标系下， S-N 曲线为直线。值得说明的是，S-N 曲线描述的是高周应力疲劳，故其使用下限为 103 ~ 104，上限由疲劳极限定义。应力比 R=−1 的对称循环疲劳试验获得的 S-N 曲线为材料的 基本 S-N 曲线。
nCode上描述截距为Sr=2100MPa 和b1=-0.16667，在sDAP上则表示为Intercept=2100，Slope=1/b1=6；
¶ 疲劳损伤与寿命预估
基于S-N曲线判断疲劳寿命的一个比较重要的准则：Miner准则。
Miner准则是几大损伤理论中最简单也最容易理解的。它首先假设一个物体能够承受的最大损伤总量为N，第一次疲劳循环都对其造成了的损伤，第二次疲劳循环都对其造成了的损伤，第三次疲劳循环都对其造成了的损伤。当时材料失效。因此当我们出现多个应力幅的时候，分别计算损伤，然后进行累加即可：
Miner准则虽然简单，但是在应用的时候需要明白它的不足之处：
- 在每个载荷块内，载荷必须是对称约束，即平均应力为0（对不为0的需要进行平均应力修正，一般软件会给出对应的修正算法）
- 在任一给定的应力水平下，累积损伤的速度与以前的载荷历程无关，也就是说，对于每一应力水平，不论在寿命的前期或者后期，每次循环的损伤应该是相同的
- 无论是由高到低或由低到高，加载顺序的变化不影响寿命。
当上述这些假设得到很好的满足的时候，线性损伤的计算可以得到满意的结果。虽然实际中不一定能满足以上情况，但是由于其形式简单，只需要一条线性SN曲线就可以进行计算，所以在工程应用上仍旧最为广泛。
对某载荷谱雨流统计表进行分析，利用miner准则，则可以计算疲劳寿命
¶ 疲劳极限
nCode平均应力修正–Goodman/Gerber–知乎
汽车结构疲劳分析基础——平均应力修正与Haigh图
疲劳损伤计算（Goodman疲劳图，等效幅值）–知乎
基于S-N曲线疲劳分析的几个基本问题探讨-sohu
结构疲劳分析概述–CSDN
¶ 平均应力对疲劳极限的影响
应力载荷循环中平均应力或者应力比 （）的改变对于材料疲劳寿命有重要影响。我们试验测得的S-N曲线通常对应的是应力比为-1的情况（Mean=0）叫做基本S-N曲线，应力比为-1()时的疲劳极限叫做对称循环疲劳极限，用表示。当应力比改变时，材料的疲劳极限和S-N曲线也随之发生变化。指定循环寿命下，随着应力比提高，即平均应力提高，许用应力幅值下降。同样，指定的应力幅值下，随着应力比R提高(应力均值升高，与均向上移动)，材料的疲劳寿命会下降。
总之，拉伸平均应力的存在, 即，对材料疲劳寿命不利；而压缩平均应力的存在，即，对材料疲劳寿命有利。因此在工程中经常采用喷丸、挤压和预应变等工艺处理，使零部件表面产生残余压应力以提高寿命。
有学者认为，应力比之所以能影响到疲劳寿命，是因为平均应力影响微裂纹的开闭，拉伸平均应力作用下，微裂纹处于张开状态，在循环载荷下更容易发生扩展和交联。平均切应力不会导致微裂纹的张开和闭合，按照这种理论，平均切应力不会影响材料疲劳寿命。从试验数据来看，平均切应力实际会影响材料疲劳极限和S-N曲线，但其影响程度确实明显小于平均正应力。
¶ 平均应力修正
疲劳耐久分析中的goodman图是怎么作出来的？
Q：为什么要平均应力修正
A：要利用S-N曲线估计疲劳寿命，需要将实际工作循环应力转换为对称循环应力。
实际上，非循环应力需要两个指标来衡量一个应力循环（幅值、均值），而对称循环应力只需要一个指标（幅值）来表征了。
提供一条线索：
连续路谱信号→离散路谱信号→雨流矩阵（三维）→载荷谱（二维）→名义损伤（一个数值）
工程是简约的逻辑，以上每一步都是基于一定的假设而做出的简化，只是有些假设太强，有些较弱。而但凡统计计算，都会丢掉一定的信息：
1、雨流计数就丢掉了频率信息；
2、而Goodman方程把均值丢掉了；
3、而Miner法则丢掉了载荷分布信息，最后剩下了损伤。
我们通常使用等寿命曲线图来表示应力幅值和平均应力的关系，如下图所示。图中横轴为平均应力，纵轴为应力幅值，同一条曲线上的各个点都能达到相同的疲劳寿命。从图可知，各条等寿命曲线的最右端的点(即与X轴的交点)是重合的，该点坐标为，为材料的拉伸极限。
其中寿命为（即无限寿命）的等寿命曲线最值得关注，这条曲线给出了材料疲劳极限和平均应力之间的关系。
上图还列出了两种不太常用的平均应力修正方案，Bagci和Marin方案。无论哪种修正方案得到的疲劳极限曲线，当时，材料的疲劳极限应力幅值是对称循环疲劳极限，也称作；当时，平均应力都等于拉伸极限 。
上述各种平均应力修正方案，不仅可用于无限寿命情况，也可用于有限寿命情况。对于有限寿命情况，只需将公式中的对称加载疲劳极限换成有限寿命N对应的对称加载应力幅值。
对于有限寿命情况，采用Goodman和Gerber等公式，如果已知实际应力幅值和实际平均应力 ，以及材料特性可以求得等寿命的对称加载应力幅值，然后就可利用基本S-N曲线中对应的N计算疲劳寿命或损伤值。
Gerber建议把这种变化用抛物线来描述，即所谓的Gerber抛物线。如果用屈服极限代替抗拉强度，则为Soderberg（更保守）替代了Goodman，如果用真实断裂强度作为横坐标，则为Morrow修正（激进） 金属疲劳基础 之三 应力-寿命stress-life 设计法–知乎。如下图所示，疲劳图中的三条线分别为Gerber的抛物线方程、Goodman线性方程和Soderberg线性方程。
某一SN曲线（Se=50MPa，Su=300MPa，）对于不同Mean修正后的SN曲线如下图所示：
( X :N Cycles Y : Mean Z : Range )
¶ 疲劳分析的计数法
¶ 几种常见计数方法
*疲劳载荷计算-知乎简要介绍了几种计数方法的类型及大致方法。
以下各种计数方法的截图均来源于*Standard Practices for Cycle Counting in Fatigue Analysis。
穿级计数、峰值计数、程对计数均为单参数输出（一维对应），而雨流计数为二参数输出（From-To或Range-Mean）
1) Level cross counting(穿级计数)
统计完最大值和最小值之后，将幅值划分为n个区段，每个区段与时序的交点个数就是对应的循环次数，其中在Mean值以上的区间（≥）计算正穿越，在Mean值以下的区域计算负穿越。
为了避免高频小幅值频繁穿越，也有考虑增加二级穿越幅值限制条件的穿级计数法，即只有穿越了临界值，同时又穿越了次级临界值时才能记作一次完整的穿越。【不常用】
注：大于Mean的次级穿越为,小于Mean的次级穿越线为，其中为次级穿越与主穿越值的绝对偏移值。
也有另外一种最大损伤的穿级计数法，对第一种穿级计数法的数据进行重拍，先尽可能获取最大的幅值（Range），计算次数，剔除，然后再计算下一幅值等级的计数，……直至结束，该过程中的点可以打乱顺序以满足当前最大幅值的穿越需求，类似于雨流中Range计数。【不常用】
2) Peak Counting（峰值计数）
峰值计数只关心极值，针对已经进行峰谷值采样的数据，大于均值取山峰的值 (不取谷值) ，小于均值通常取山谷的值 （不取峰值） ，采用这种方式通常会输出的最大值和最小值两份结果。
同样为了避免连续高频振动的小幅值的峰谷，可采用穿越均值的峰谷值计数，即每穿越一次与下一次Mean值之间取峰谷值进行计数。【不常用】
也可通过峰谷值重新组合为不同幅值的组合，依次选用最大的峰值最小的谷值组成第一个循环，然后其次，直至全部峰谷值用完。主要体现的幅值的计数。
3) Simple-Range counting(简化的幅度计数)
For this method, a range is defined as the difference between two successive reversals, the range being positive when a valley is followed by a peak and negative when a peak is followed by a valley. The method is illustrated in Fig. 4. Positive ranges, negative ranges, or both, may be counted with this method. If only positive or only negative ranges are counted, then each is counted as one cycle. If both positive and negative ranges are counted, then each is counted as one-half cycle. Ranges smaller than a chosen value are usually elimnated before counting。
这种方式关注的是幅值，可以输出幅值和次数的关系，取完峰谷之后，对任意相邻的峰谷值进行幅值计算，并根据幅值大小划分到对应的区间进行计数，每个峰谷记作0.5次（如果双边正向和负向都计数，下图范例每个过程记为半个循环）。（该方法已基本不推荐使用，Load Assumption for Fatigue Design of Structures and Components P39 3.3.3 Range Counting.Comment）
如果同时考虑每个峰谷区间的Mean值，则可以进行组成二维的分布，如下表所示，类似于简化的程对计数，但未考虑应力应变的滞回特性。
如果只记录正向或负向Range过程，则每个Range记为一个完整的循环 Load Assumption for Fatigue Design of Structures and Components P38 3.3.3 Range Counting只是正向记录。
Range Counting和Range Pair Counting方法一般输出的结果为累计结果，即从最高的Range进行累计，最小幅值绘制的对应的次数为所有之前幅值累计的数值。
4) Range-Pair(程对计数)
雨流计数结果给出的是“Range是多少、Mean是多少”的一个封闭的外载荷循环，在被计数的那个随机时域信号中出现了多少回。上图Figure3所示，忽略Mean的信息，也就是不管Mean相同还是不同，只要Range相同，就把相应的循环数加和在一起，直观上沿Y轴（Mean）进行投影累加计数，将雨流矩阵按照这样一种思路“压缩”后的信息和计数结果，称之为Range Pair计数。* Range Pair计数、穿级计数与峰值计数-汽车测试网【该方法在LMS Tecware 称作为 RangePair acc. Rainflow 】。
Range-Pair计数法有另外一种实现，不通过雨流矩阵进行提取，而是直接对峰谷值时程进行Range提取，*E1049 − 85 (Reapproved 2011) Standard Practices for Cycle Counting in Fatigue Analysis P3 5.4.3 Range-Pair Counting 与DIN 45667采用的方法与三点雨流计数法几乎一致（DIN45667要求重构数据以使得以最值开头，取整数循环，但E1049−85则不要求数据重构，但对雨流残余点进行反向再进行一次三点法雨流计数，但取半循环处理。【该方法在LMS Tecware 称作为 RangePair acc. DIN 】。
注：The use of DIN 45667, published in 1969, is not recommended, since this standard is now obsolete and does not include any reference to fatigue strength under variable stress amplitude, [Buxb92]. *Load Assumption for Fatigue Design of Structures and Components P34 3.2 Standards不推荐使用DIN45667标准。
如果将Range-Pair扩展到Range Pair Mean则为二参数计数方法。
上图中的左图完全根据Mean Range进行统计绘制，Mean进行了向上取整+1处理，右侧绘制方法从最高Mean开始绘制虚线，然后绘制上下两条线体现Range，之后绘制下一段Mean-Range，次数进行累计。
5) Rianflow(雨流计数)
雨流计数算法（也称为“雨流计数方法”）用于疲劳数据分析，以将变化的应力谱减少为一组简单的应力反转组合。它的重要性在于它允许应用Miner规则来评估受复杂载荷作用的结构的疲劳寿命。 该算法由Tatsuo Endo和M. Matsuishi于1968年开发。Downing和Socie在1982年创建了一种被更广泛引用和利用的雨流循环计数算法，在ASTM E 1049-85（疲劳分析中的循环计数的标准实践）中，它已作为许多循环计数算法之一被包括在内。 Igor Rychlik为雨流计数方法给出了数学定义，从而可以根据负载信号的统计属性进行闭式计算。*雨流计数法-知乎
雨流计数法对载荷的时间历程进行计数的过程反映了材料的记忆特性，具有明确的力学概念，因此该方法得到了普遍的认可。雨流计数法 百度百科 *
雨流法的要点是载荷-时间历程的每一部分都参与计数，且只计数一次，一个大的幅值所引起的损伤不受截断它的小循环的影响，截出的小循环迭加到较大的循环和半循环上去。因此可以据累计损伤理论，将等幅实验得到的S-N曲线和雨流法的处理结果输入电子计算机，进行构件的疲劳寿命估算便能得出较满意的结果。雨流计数法 百度百科 *
对于雨流计数法来说，完成一个载荷循环无论用2s，还是1s，最后统计的结果是完全一样的，所以他丢掉了频率信息。与此同时，载荷历程一样，载荷顺序不同，统计的结果也一样。用通俗的语言解释下雨流法计数的优点–知乎
雨流计数在遵循循环应力-应变行为（曲线）所描述的路径的前提下进行计数的方法。
¶ 雨流计数的原则
- 将载荷历程看作多层屋顶，假想有雨滴沿着最大峰或者最大谷处，开始下流。
- 起始于波谷的雨流，遇到比他更低的谷值要停止；起始于波峰的雨流，遇到比他更高的峰值要停止。
- 雨迹遇到另一个雨迹的时候要停止;
- 根据雨流流动的起点和终点画出各个循环，将所有循环逐一取出来，并记录其峰谷值，对数据记录。
雨流计数法是二参数计数，最大幅值和最小幅值，有了此二个参数，循环就完全确定了
三点雨流循环计数法的结果均为全循环，典型段计数后，其后的重复只需考虑重复次数即可
- 雨流法从1点开始，该点是谷值（下一点比它大，因此第一点是谷值，第二点是峰值）。雨流流至2点，竖直下滴到3与4点幅值间的2ˊ点，然后流到4点，最后停于比1点更负的峰值5的对应处。得出一个从1到4的半循环。
- 下一个雨流从峰值2点开始，流经3点，停于4点的对面，因为4点是比开始的2点具有更正的最大值，得出一个半循环2-3。
- 第三个流动从3点开始，因为遇到由2点滴下的雨流，所以终止于2ˊ点，得出半循环3-2ˊ。这样，3-2和2-3就形成了一个闭合的应力-应变回路环，它们配成一个完全的循环2′-3-2。
- 下一个雨流从峰值4开始，流经5点，竖直下滴到6和7之间的5ˊ点，继续往下流，再从7点竖直下滴到峰值10的对面，因为10点比4点具有更正的最大值。得出半循环4-5-7。
- 第五个流动从5点开始，流到6点，竖直下滴，终止于7点的对面，因为7点比5点具有更负的极小值。取出半循环5-6。
- 第六个流动从6点开始，因为遇到由5点滴下的雨滴，所以流到5ˊ点终止。半循环6-5与5-6配成一个完全循环5ˊ-6-5，取出5ˊ-6-5。
- 第七个流动从7点开始，经过8点，下落到9-10线上的8ˊ点，然后到最后的峰值10，取出半循环7-8-10。
- 第八个流动从8点开始，流至9点下降到10点的对面终止，因为10点比8点具有更正的最大值。取出半循环8-9。
- 最后一个流动从9点开始，因为遇到由8点下滴的雨流，所以终止于8ˊ点。取出半循环9-8ˊ。把两个半循环8-9和9-8ˊ配对，组成一个完全的循环8-9-8ˊ。
这样，上图所示的峰谷值采样后的应变一时间记录包括三个完全循环8-9-8ˊ,2-3-2ˊ，5-6-5ˊ和三个半循环1-2-4，4-5-7，7-8-10。上图的右图表明，雨流法得到的应变是与材料应力-应变特性相一致的。
¶ 雨流计数的算法实现
雨流计数法在经过准确定义后需要在算法上进行实现，传统意义上有两种，分为三点法和四点法，其中三点法需要进行数据重排，使起始点为整个时程的最大值或最小值（取其中绝对值大者），而四点法则没有该要求，适合在实时系统中进行雨流计数。
¶ 标准计算方法（ASTM E1049-85）
该方法严格按照ASTM E1049-85中5.4.4方法进行，不需要进行数据重构，结合三点法与四点法的特征进行雨流计数。
*Matlab Rainflow Algorithm Exchange
*Matlab Rainflow Help Center
*Standard Practices for Cycle Counting in Fatigue Analysis P6 5.4.4 Rainflow Counting
CheckRainflowMat.m
¶ 三点法
*ASTM E1049-85 Standard Practices for Cycle Counting in Fatigue Analysis P6 5.4.5 Simplified Rainflow Counting for Repeating Histories
三点法是标准雨流计数法的简化版。
三点法基本规则：数据重排后（数据重排后，可保证最后剩余的点必定是相等的两个峰值+一个谷值或相等的两个谷值+一个峰值），连续三个点，满足如果是当前点是峰值点S1且下一个峰值（第三个点）点的数值S3≥S1，或当前点是谷值点S1且下一个谷值（第三个点）点的数值S3≤S1时，记为一个循环，同时移除S1，继续往后进行，直至所有峰谷值使用完。算法上通过绝对值和进行判断，减小运算的复杂程度。
原始数据及根据最大值重排后的数据如下图所示：
重排后的数据采用三点法雨流计数过程如下：
计数结果为：
CheckRainflow3P.m
¶ 四点法
All of these variants essentially count closed hysteresis cycles in the stress-strain-path that is obtained if the time series is taken as a strain history, a stress-strain-curve is given, and the Masing-memory rules are applied to construct a stress-strain-path.
The 4-point algorithm works with a stack of 4 points used to find closed loops and is updated when passing through the time series. It is assumed that the time series has been preprocessed and is represented as a sequence of peaks and valleys. The stack is initially filled with the first 4 points of the history. The residue RES, which will remain after the counting procedure, is initialized empty.
If the second and third point are not contained in the interval spanned by the first and the forth point, then the first point is stored in the residue and removed from the stack. The stack is filled with the next point of the history.
*LMS tecware_vol2 帮助文件
one with a hanging cycle in (a) and another with a standing cycle in (b). The four consecutive stress points (S1, S2, S3, S4) define the inner () and the outer stress range (). If the inner stress range is less than or equal to the outer stress range () and the points comprising the inner stress range are bounded by (between) the points of the outer stress range , the inner cycle from S2 to S3 is extracted。
简要说明即取4个点，1点和4点要完全包住2点和3点：
如果是上升趋势（起始点为谷值点），则第二次峰值点（4）要高于（或等于）第一次峰值点（2），且下降谷值点（3）要高于（或等于）起始的谷值点（1）。
如果是下降趋势（起始点为峰值点），则第二次谷值点（4）要高于（或等于）第一次谷值点（2），且上升峰值点（3）要低于（或等于）起始的峰值点（1）。
《Fatigue Testing and Analysis Theory and Practice》一书中 P91范例中并未执行其四点法的第二条标准，按照规范该书中Figure3.8(a)的第一个循环（-4，2，-6，12）组成的循环应该不能算作一个循环。
Fatigue Testing and Analysis Theory and Practice P91
而LMS Tecware 中关于四点法的范例中则严格的执行了该规定,最后一个点组成4个点为（2，6，1，5，2）的判断时，如果只看()是满足要求，但其不满足第二个条件因而未能记作有效计数。
LMS Tecware Methods-Rainflow Counting
由于四点法不需要进行数据重构以使得最大数据总位于第一个数据，导致进行计数及处理后，并不能像三点法那样用尽所有的点，而剩余的点（残余数据 Residue）按照规范要求需要进行处理，通常处理方法为将残余数据进行复制一份并连接在原始数据的后端，将连接后的两部分数据仍然通过四点法进行统计计数，但每次符合条件的计数均记为0.5次。
Unlike the three-point rainflow cycle counting method, this technique does not guarantee that all the data points will form closed cycles. The remaining data points that cannot constitute a cycle are called the residue。*Standard Practices for Cycle Counting in Fatigue Analysis P91
TecWare软件针对Residue有三种处理的选项，即none、First Block和Repeated Block。软件默认的选项是Repeated Block。例如采集了300km的高速路面的载荷谱，对它作雨流计数。但是，这个结果与设计里程相比仅仅是一小段。在将这一段载荷“外推”到设计里程的时候，相当于将好多个这一段时域数据“首尾相接”进行计数，这时候也相当于将好多段Residue“首尾相接”进行雨流计数。这个时候，按照四点法雨流计数法则，本来数不出什么结果的Residue又能贡献出新的载荷循环。而且，这些载荷循环都是幅值非常大的载荷循环，循环周次不多，但是实际形成的伪损伤数值可是不小的，因此不仅不能忽略，而且是要小心谨慎和“锱铢必较”的进行处理的。*【载荷数据处理-幅值域分析方法】雨流计数–汽车测试网
在默认的Repeated Block选项下，TecWare的雨流计数结果包含两方面的信息：一个是正常四点法雨流计数产生的雨流矩阵，我们用RFM0来表示，其对应的伪损伤数值我们用d0来表示；一个是采用（默认的）Repeated Block选项对于Residue进行再计数产生的新的载荷循环，我们用RFM2来表示，其对应的伪损伤数值我们用d2来表示。可以证明：如果将这一段时域数据重复Nb次，则其对应的损伤“约”等于Nb(d0+d2)。一般来说，这个结果与精确值之间仅有一点点的偏差，可以忽略不计。*【载荷数据处理-幅值域分析方法】雨流计数–汽车测试网
四点法雨流计数及残余数据的处理过程
Tecware 四点法雨流计数范例结果
CheckRainflow4P.m
¶ 实时雨流计数法
标准的雨流计数法（ASTM E1049-85）是可以实现实时计算的，针对残余部分的统计可以进一步改进。
*符合ASTM标准的雨流计数法及其不同的改进方法
¶ 雨流计数结果分析
（From-To与Mean-Amplitude）
Simcenter Tecware软件默认计数方式是From-To，雨流矩阵默认显示方式也是以From-To形式呈现。当然，Simcenter Tecware软件可以显示为Range-Mean形式。事实上，Range-Mean可以从From-To结果推导获得，但从Range-Mean结果却无法推导出From-To结果。根本原因引言中已经说明过From-To存储有载荷方向信息，而Range-Mean未存储载荷方向信息。*
雨流计数结果如图8所示，该结果给我们提供了三个方面的信息：*
- 载荷的幅值
- 载荷的均值
- 载荷的循环次数
每一次循环通过From-To格式的方式呈现，下图Figure1在From -1 To 1的位置上显示为6，表示时域载荷信号中出现了一个闭合的载荷循环，这个循环的最大值是1，最小值是-1；这个载荷由-1先加载到1，然后又卸载到-1；这个循环出现了3次。
雨流矩阵中相同的色块标识出的载荷循环Range都一样，但是Mean不一样。图中135°方向的等高线为Mean值等高线，即在同一条线上各Mean值处于同一区间，45°方向的等高线为幅值等高线，灰色方块为零幅值等高线。绿线为幅值为1的等高线，后续进行疲劳加速进行小幅值滤波实际上是对幅值等高线内的点进行去除，比如绿线之间的点.
注意：LMS Tecware画From To雨流方块图坐标与nCode是不一致的，sDAP是按照nCode画的图，因此，方框图与LMS提供的网上参考的图有差异。
雨流计数结果的另一种呈现形式是Mean-Amplitude形式，变换过程如Figure1.1->Figure1.2->Figure2->Figure3，主要获取到了所有Amplitude的值及对应的Mean值，135°方向的等高线为To值等高线，45°的等高线为From值等高线.
根据From-To可以推出Mean-Amplitude，反之根据Mean-Amplitude不可以推出From-To（因为Amplitude丢失了正向和负向），但可以推出Range-Pair结果，算伪损伤结果一致.
45°对角线上对应零均值载荷，45°对角线左上方绿色区域对应平均压应力载荷，45°对角线右下方红色区域对应平均拉应力载荷。
135°对角线上对应零幅值载荷，其附近绿色框内载荷循环次数虽多，但由于载荷幅值较小，因此对应损伤值也小。远离135°对角线的红色框内载荷循环次数虽少，但由于载荷幅值较大，因此对应损伤值也大。
¶ 伪损伤的计算（相对损伤计算）
损伤的计算需要几个先决条件，
1）准确的材料SN曲线
2）平均应力修正曲线的相关参数（材料参数）
3）应力或应变实测数据的雨流计数矩阵结果
但在实际试验过程中，往往并不需要预估真实的寿命，只是评价两组数据对系统造成的预估损伤是否一致，甚至分析的信号也不是应力或应变信号，比如采集一段路谱的加速度信号，并在试验台上进行复现，此时需要分析试验台上复现的加速度时程带来的损伤与实际路试采集的加速度所造成的损伤是否一致，由于是测试对象为部件，因此并不具备准确的材料SN曲线的条件。[Jeffrey]
这种将某一随机载荷向损伤进行的压缩转化是较为粗糙的，因为这里面有太多在进行材料和结构疲劳寿命评估时需要考虑的因素都没有考虑在内，比如下图两种载荷谱画出的Range-Pair的结果将是一致的，因此在车辆耐久性工程领域，我们习惯于把这种转化生成的与损伤相关联的量值称为“伪损伤”（Pseudo Damage），或者“相对损伤”。
“伪损伤”在于提示和强调，这种损伤数值是“伪”的，是假的，把这些个数值取倒数，并不对应疲劳寿命结果。那么这种量值的存在还有什么意义呢？“相对损伤”的命名提醒我们，要从“相对”的角度去理解和利用这一计算结果。如下图所示，如果让六个司机、驾驶同一车辆、在同一路面上各跑一圈，取得六个数据样本，那么对这六个时域数据样本都进行Range Pair计数，继而计算伪损伤，如下图所示，伪损伤的数值有一个分布和变化，有的大，有的小，这反映了驾驶习惯的变异性。如上所述，从每一个损伤的数值来看，这六个损伤数值都是“伪”的，但是，这六个数值之间的“相对”关系是真实的，也就是说谁开车开的比较“费”，谁开的比较“省”，这种相对关系的反应是客观的。究其原因，是在伪损伤的计算过程中，抓住了载荷幅值变化对于材料和结构疲劳寿命影响这个最主要的因素，因此尽管其结果比较粗糙，但是从相对意义上去理解和利用这一信息还是可以的。
千万不能瞧不起伪损伤这一粗糙的计算结果，我们将看到，伪损伤在车辆耐久性工程中是一个非常重要的量值，在整个车辆耐久性工程研发的各个环节，发挥着贯穿始终和穿针引线的作用。*车辆耐久性工程中的重要随机变量及如何确定其服从怎样的分布模型-汽车测试网
给定某材料SN曲线的截距（Intercept，=1000），斜率Slope（m=3.5），大体意思当加载幅值为1000时，寿命为1次，当加载幅值下降3.5，寿命增加10倍。通常SN曲线采用幂级数形式进行表示：
其中m即为斜率，当时，即可得到常数C，对于雨流分析后的任意Range 对应计数时所产生的损伤为：
再对每一个计数的Range进行伪损伤计算后进行累加即可得到该段时程的累计伪损伤（Cumulative Relative Damage）
上述方法其实也适用于真实的材料疲劳试验的损伤与寿命预估，只需要代入准确的材料参数即可。
¶ 疲劳试验的加速【待完成】
¶ 疲劳试验的步骤
1.滤除小幅值(Hysteresis Filtering)
2.峰谷滤波(Peak-Valley Filtering)
3.离散化(Discretization)
4.四点法雨流计数(Four Point Counting Method)
¶ RP滤波
¶ 应变转应力
¶ 雨流的外推
¶ 相关信息
¶ 载荷谱
所谓载荷谱是客观反映零部件或构件在各种工况下承受载荷（或应力）与它出现的累积频次关系图，疲劳随即在和谱表示随机载荷的统计特性。载荷谱不仅是疲劳强度计算的依据，也是模拟试验加载的依据。*2021-05-11雨流计数法的matlab代码实现，三点法四点法修正版
现实世界中，疲劳载荷非常复杂，给定的半周期可能包含较小的半周期。通常，不能将较大的应力循环分成较小的应力循环，因为这会导致疲劳损伤的低估。较小的应力循环应视为较大应力逆转的暂时中断。
- 雨流法从1点开始，该点是谷值（下一点比它大，因此第一点是谷值，第二点是峰值）。雨流流至2点，竖直下滴到3与4点幅值间的2ˊ点，然后流到4点，最后停于比1点更负的峰值5的对应处。得出一个从1到4的半循环。
- 下一个雨流从峰值2点开始，流经3点，停于4点的对面，因为4点是比开始的2点具有更正的最大值，得出一个半循环2-3。
- 第三个流动从3点开始，因为遇到由2点滴下的雨流，所以终止于2ˊ点，得出半循环3-2ˊ。这样，3-2和2-3就形成了一个闭合的应力-应变回路环，它们配成一个完全的循环2′-3-2。
- 下一个雨流从峰值4开始，流经5点，竖直下滴到6和7之间的5ˊ点，继续往下流，再从7点竖直下滴到峰值10的对面，因为10点比4点具有更正的最大值。得出半循环4-5-7。
- 第五个流动从5点开始，流到6点，竖直下滴，终止于7点的对面，因为7点比5点具有更负的极小值。取出半循环5-6。
- 第六个流动从6点开始，因为遇到由5点滴下的雨滴，所以流到5ˊ点终止。半循环6-5与5-6配成一个完全循环5ˊ-6-5，取出5ˊ-6-5。
- 第七个流动从7点开始，经过8点，下落到9-10线上的8ˊ点，然后到最后的峰值10，取出半循环7-8-10。
- 第八个流动从8点开始，流至9点下降到10点的对面终止，因为10点比8点具有更正的最大值。取出半循环8-9。
- 最后一个流动从9点开始，因为遇到由8点下滴的雨流，所以终止于8ˊ点。取出半循环9-8ˊ。把两个半循环8-9和9-8ˊ配对，组成一个完全的循环8-9-8ˊ。
这样，上图所示的峰谷值采样后的应变一时间记录包括三个完全循环8-9-8ˊ,2-3-2ˊ，5-6-5ˊ和三个半循环1-2-4，4-5-7，7-8-10。上图的右图表明，雨流法得到的应变是与材料应力-应变特性相一致的。
¶ 雨流计数的算法实现
雨流计数法在经过准确定义后需要在算法上进行实现，传统意义上有两种，分为三点法和四点法，其中三点法需要进行数据重排，使起始点为整个时程的最大值或最小值（取其中绝对值大者），而四点法则没有该要求，适合在实时系统中进行雨流计数。
¶ 标准计算方法（ASTM E1049-85）
该方法严格按照ASTM E1049-85中5.4.4方法进行，不需要进行数据重构，结合三点法与四点法的特征进行雨流计数。
*Matlab Rainflow Algorithm Exchange
*Matlab Rainflow Help Center
*Standard Practices for Cycle Counting in Fatigue Analysis P6 5.4.4 Rainflow Counting
CheckRainflowMat.m
¶ 三点法
*ASTM E1049-85 Standard Practices for Cycle Counting in Fatigue Analysis P6 5.4.5 Simplified Rainflow Counting for Repeating Histories
三点法是标准雨流计数法的简化版。
三点法基本规则：数据重排后（数据重排后，可保证最后剩余的点必定是相等的两个峰值+一个谷值或相等的两个谷值+一个峰值），连续三个点，满足如果是当前点是峰值点S1且下一个峰值（第三个点）点的数值S3≥S1，或当前点是谷值点S1且下一个谷值（第三个点）点的数值S3≤S1时，记为一个循环，同时移除S1，继续往后进行，直至所有峰谷值使用完。算法上通过绝对值和进行判断，减小运算的复杂程度。
原始数据及根据最大值重排后的数据如下图所示：
重排后的数据采用三点法雨流计数过程如下：
计数结果为：
CheckRainflow3P.m
¶ 四点法
All of these variants essentially count closed hysteresis cycles in the stress-strain-path that is obtained if the time series is taken as a strain history, a stress-strain-curve is given, and the Masing-memory rules are applied to construct a stress-strain-path.
The 4-point algorithm works with a stack of 4 points used to find closed loops and is updated when passing through the time series. It is assumed that the time series has been preprocessed and is represented as a sequence of peaks and valleys. The stack is initially filled with the first 4 points of the history. The residue RES, which will remain after the counting procedure, is initialized empty.
If the second and third point are not contained in the interval spanned by the first and the forth point, then the first point is stored in the residue and removed from the stack. The stack is filled with the next point of the history.
*LMS tecware_vol2 帮助文件
one with a hanging cycle in (a) and another with a standing cycle in (b). The four consecutive stress points (S1, S2, S3, S4) define the inner () and the outer stress range (). If the inner stress range is less than or equal to the outer stress range () and the points comprising the inner stress range are bounded by (between) the points of the outer stress range , the inner cycle from S2 to S3 is extracted。
简要说明即取4个点，1点和4点要完全包住2点和3点：
如果是上升趋势（起始点为谷值点），则第二次峰值点（4）要高于（或等于）第一次峰值点（2），且下降谷值点（3）要高于（或等于）起始的谷值点（1）。
如果是下降趋势（起始点为峰值点），则第二次谷值点（4）要高于（或等于）第一次谷值点（2），且上升峰值点（3）要低于（或等于）起始的峰值点（1）。
《Fatigue Testing and Analysis Theory and Practice》一书中 P91范例中并未执行其四点法的第二条标准，按照规范该书中Figure3.8(a)的第一个循环（-4，2，-6，12）组成的循环应该不能算作一个循环。
Fatigue Testing and Analysis Theory and Practice P91
而LMS Tecware 中关于四点法的范例中则严格的执行了该规定,最后一个点组成4个点为（2，6，1，5，2）的判断时，如果只看()是满足要求，但其不满足第二个条件因而未能记作有效计数。
LMS Tecware Methods-Rainflow Counting
由于四点法不需要进行数据重构以使得最大数据总位于第一个数据，导致进行计数及处理后，并不能像三点法那样用尽所有的点，而剩余的点（残余数据 Residue）按照规范要求需要进行处理，通常处理方法为将残余数据进行复制一份并连接在原始数据的后端，将连接后的两部分数据仍然通过四点法进行统计计数，但每次符合条件的计数均记为0.5次。
Unlike the three-point rainflow cycle counting method, this technique does not guarantee that all the data points will form closed cycles. The remaining data points that cannot constitute a cycle are called the residue。*Standard Practices for Cycle Counting in Fatigue Analysis P91
TecWare软件针对Residue有三种处理的选项，即none、First Block和Repeated Block。软件默认的选项是Repeated Block。例如采集了300km的高速路面的载荷谱，对它作雨流计数。但是，这个结果与设计里程相比仅仅是一小段。在将这一段载荷“外推”到设计里程的时候，相当于将好多个这一段时域数据“首尾相接”进行计数，这时候也相当于将好多段Residue“首尾相接”进行雨流计数。这个时候，按照四点法雨流计数法则，本来数不出什么结果的Residue又能贡献出新的载荷循环。而且，这些载荷循环都是幅值非常大的载荷循环，循环周次不多，但是实际形成的伪损伤数值可是不小的，因此不仅不能忽略，而且是要小心谨慎和“锱铢必较”的进行处理的。*【载荷数据处理-幅值域分析方法】雨流计数–汽车测试网
在默认的Repeated Block选项下，TecWare的雨流计数结果包含两方面的信息：一个是正常四点法雨流计数产生的雨流矩阵，我们用RFM0来表示，其对应的伪损伤数值我们用d0来表示；一个是采用（默认的）Repeated Block选项对于Residue进行再计数产生的新的载荷循环，我们用RFM2来表示，其对应的伪损伤数值我们用d2来表示。可以证明：如果将这一段时域数据重复Nb次，则其对应的损伤“约”等于Nb(d0+d2)。一般来说，这个结果与精确值之间仅有一点点的偏差，可以忽略不计。*【载荷数据处理-幅值域分析方法】雨流计数–汽车测试网
四点法雨流计数及残余数据的处理过程
Tecware 四点法雨流计数范例结果
CheckRainflow4P.m
¶ 实时雨流计数法
标准的雨流计数法（ASTM E1049-85）是可以实现实时计算的，针对残余部分的统计可以进一步改进。
*符合ASTM标准的雨流计数法及其不同的改进方法
¶ 雨流计数结果分析
（From-To与Mean-Amplitude）
Simcenter Tecware软件默认计数方式是From-To，雨流矩阵默认显示方式也是以From-To形式呈现。当然，Simcenter Tecware软件可以显示为Range-Mean形式。事实上，Range-Mean可以从From-To结果推导获得，但从Range-Mean结果却无法推导出From-To结果。根本原因引言中已经说明过From-To存储有载荷方向信息，而Range-Mean未存储载荷方向信息。*
雨流计数结果如图8所示，该结果给我们提供了三个方面的信息：*
- 载荷的幅值
- 载荷的均值
- 载荷的循环次数
每一次循环通过From-To格式的方式呈现，下图Figure1在From -1 To 1的位置上显示为6，表示时域载荷信号中出现了一个闭合的载荷循环，这个循环的最大值是1，最小值是-1；这个载荷由-1先加载到1，然后又卸载到-1；这个循环出现了3次。
雨流矩阵中相同的色块标识出的载荷循环Range都一样，但是Mean不一样。图中135°方向的等高线为Mean值等高线，即在同一条线上各Mean值处于同一区间，45°方向的等高线为幅值等高线，灰色方块为零幅值等高线。绿线为幅值为1的等高线，后续进行疲劳加速进行小幅值滤波实际上是对幅值等高线内的点进行去除，比如绿线之间的点.
注意：LMS Tecware画From To雨流方块图坐标与nCode是不一致的，sDAP是按照nCode画的图，因此，方框图与LMS提供的网上参考的图有差异。
雨流计数结果的另一种呈现形式是Mean-Amplitude形式，变换过程如Figure1.1->Figure1.2->Figure2->Figure3，主要获取到了所有Amplitude的值及对应的Mean值，135°方向的等高线为To值等高线，45°的等高线为From值等高线.
根据From-To可以推出Mean-Amplitude，反之根据Mean-Amplitude不可以推出From-To（因为Amplitude丢失了正向和负向），但可以推出Range-Pair结果，算伪损伤结果一致.
45°对角线上对应零均值载荷，45°对角线左上方绿色区域对应平均压应力载荷，45°对角线右下方红色区域对应平均拉应力载荷。
135°对角线上对应零幅值载荷，其附近绿色框内载荷循环次数虽多，但由于载荷幅值较小，因此对应损伤值也小。远离135°对角线的红色框内载荷循环次数虽少，但由于载荷幅值较大，因此对应损伤值也大。
¶ 伪损伤的计算（相对损伤计算）
损伤的计算需要几个先决条件，
1）准确的材料SN曲线
2）平均应力修正曲线的相关参数（材料参数）
3）应力或应变实测数据的雨流计数矩阵结果
但在实际试验过程中，往往并不需要预估真实的寿命，只是评价两组数据对系统造成的预估损伤是否一致，甚至分析的信号也不是应力或应变信号，比如采集一段路谱的加速度信号，并在试验台上进行复现，此时需要分析试验台上复现的加速度时程带来的损伤与实际路试采集的加速度所造成的损伤是否一致，由于是测试对象为部件，因此并不具备准确的材料SN曲线的条件。[Jeffrey]
这种将某一随机载荷向损伤进行的压缩转化是较为粗糙的，因为这里面有太多在进行材料和结构疲劳寿命评估时需要考虑的因素都没有考虑在内，比如下图两种载荷谱画出的Range-Pair的结果将是一致的，因此在车辆耐久性工程领域，我们习惯于把这种转化生成的与损伤相关联的量值称为“伪损伤”（Pseudo Damage），或者“相对损伤”。
“伪损伤”在于提示和强调，这种损伤数值是“伪”的，是假的，把这些个数值取倒数，并不对应疲劳寿命结果。那么这种量值的存在还有什么意义呢？“相对损伤”的命名提醒我们，要从“相对”的角度去理解和利用这一计算结果。如下图所示，如果让六个司机、驾驶同一车辆、在同一路面上各跑一圈，取得六个数据样本，那么对这六个时域数据样本都进行Range Pair计数，继而计算伪损伤，如下图所示，伪损伤的数值有一个分布和变化，有的大，有的小，这反映了驾驶习惯的变异性。如上所述，从每一个损伤的数值来看，这六个损伤数值都是“伪”的，但是，这六个数值之间的“相对”关系是真实的，也就是说谁开车开的比较“费”，谁开的比较“省”，这种相对关系的反应是客观的。究其原因，是在伪损伤的计算过程中，抓住了载荷幅值变化对于材料和结构疲劳寿命影响这个最主要的因素，因此尽管其结果比较粗糙，但是从相对意义上去理解和利用这一信息还是可以的。
千万不能瞧不起伪损伤这一粗糙的计算结果，我们将看到，伪损伤在车辆耐久性工程中是一个非常重要的量值，在整个车辆耐久性工程研发的各个环节，发挥着贯穿始终和穿针引线的作用。*车辆耐久性工程中的重要随机变量及如何确定其服从怎样的分布模型-汽车测试网
给定某材料SN曲线的截距（Intercept，=1000），斜率Slope（m=3.5），大体意思当加载幅值为1000时，寿命为1次，当加载幅值下降3.5，寿命增加10倍。通常SN曲线采用幂级数形式进行表示：
其中m即为斜率，当时，即可得到常数C，对于雨流分析后的任意Range 对应计数时所产生的损伤为：
再对每一个计数的Range进行伪损伤计算后进行累加即可得到该段时程的累计伪损伤（Cumulative Relative Damage）
上述方法其实也适用于真实的材料疲劳试验的损伤与寿命预估，只需要代入准确的材料参数即可。
¶ 疲劳试验的加速【待完成】
¶ 疲劳试验的步骤
1.滤除小幅值(Hysteresis Filtering)
2.峰谷滤波(Peak-Valley Filtering)
3.离散化(Discretization)
4.四点法雨流计数(Four Point Counting Method)
¶ RP滤波
¶ 应变转应力
¶ 雨流的外推
¶ 相关信息
¶ 载荷谱
所谓载荷谱是客观反映零部件或构件在各种工况下承受载荷（或应力）与它出现的累积频次关系图，疲劳随即在和谱表示随机载荷的统计特性。载荷谱不仅是疲劳强度计算的依据，也是模拟试验加载的依据。*2021-05-11雨流计数法的matlab代码实现，三点法四点法修正版
现实世界中，疲劳载荷非常复杂，给定的半周期可能包含较小的半周期。通常，不能将较大的应力循环分成较小的应力循环，因为这会导致疲劳损伤的低估。较小的应力循环应视为较大应力逆转的暂时中断。