计算方法： 将任意的周期载荷p(t)展开成傅里叶级数，变成一系列简谐荷载的叠加，利用之前简谐荷载作用下结构反应的稳态解，再求和，即得到结构在任意周期性荷载作用下的反应。
前提条件： 结构为线弹性体系，满足叠加原理。
任意周期荷载p(t)展开成傅里叶级数：
p(t)=a0+j=1∑∞ajcosωjt+j=1∑∞bjsinωjt
其中，
a0=Tp1∫0Tpp(t)dt
aj=Tp2∫0Tpp(t)cosωjtdt，j=1,2,3,⋯
bj=Tp2∫0Tpp(t)sinωjtdt，j=1,2,3,⋯
式中，
ωj=jTp2π=jω1，Tp为荷载的周期。
注：当使用傅里叶级数展开时，隐含假设周期函数是从−∞开始到+∞，初始条件（t=−∞）到t=0时的影响已完全小时，因此仅需计算稳态解即特解即可。
对于展开成的每一项简谐荷载，体系的反应为：
a0ajcosωjtbjsinωjt:u0=ka0:ujc=kaj(1−βj2)2+(2ζβj)22ζβjsinωjt+(1−βj)2cosωjt:ujs=kbj(1−βj2)2+(2ζβj)2(1−βj)2sinωjt−2ζβjcosωjt
则任意周期荷载作用下结构总的稳态反应为：
u(t)=u0+j=1∑∞(ujc+ujs)=ka0+kaj(1−βj2)2+(2ζβj)22ζβjsinωjt+(1−βj)2cosωjt+kbj(1−βj2)2+(2ζβj)2(1−βj)2sinωjt−2ζβjcosωjt
式中，
βj=ωnωj，ωj=jTp2π=jω1，Tp为荷载的周期。
计算方法1： 傅里叶变换法-频域分析方法
前提条件： 结构为线弹性体系，满足叠加原理。
傅里叶变换定义：
U(ω)=∫−∞+∞u(t)e−iωtdt ——正变换
u(t)=2π1∫−∞+∞U(ω)eiωtdω ——逆变换
速度和加速度的傅里叶变换：
∫−∞+∞u˙(t)e−iωtdt=iωU(ω)
∫−∞+∞u¨(t)e−iωtdt=−ω2U(ω)
对单自由度体系的时域运动方程：
mu¨(t)+cu˙(t)+ku(t)=p(t)⇒u¨(t)+2ζωnu˙(t)+ωn2u(t)=m1p(t)
等式两边同时进行傅里叶正变换：
−ω2U(ω)+i2ζωnωU(ω)+ωn2U(ω)=m1P(ω)
U(ω)=∫−∞+∞u(t)e−iωtdt
P(ω)=∫−∞+∞p(t)e−iωtdt
则单自由度体系运动的频域解为：
U(ω)=H(iω)P(ω)
H(iω)=k1[[1−(ω/ωn)2]+i[2ζ(ω/ωn)]1]
H(iω)称为幅频响应函数，也称为频响函数，传递函数。它与后面提到的单位脉冲反应函数h(t−τ)互为傅里叶变换对。
再利用傅里叶逆变换，即得到体系的时域位移解：
u(t)=2π1∫−∞+∞H(iω)P(ω)eiωtdω
上面用到的傅里叶变换和逆变换为无穷域积分，且被积函数是复数，实际计算起来非常麻烦。当外载荷是复杂的时间函数（如地震动）时，用解析型的傅里叶变换几乎是不可能的，实际计算中采用的是离散傅里叶变换。
对连续变化的时间函数用等步长离散（数值采样）：
时域离散化：
Δt=Tp/N
tk=k⋅Δt
p(tk)，k=0,1,2,⋯,N−1
时域离散化
频域离散化：
Δω=2π/Tp
ωj=j⋅Δω
P(ωj)，j=0,1,2,⋯,N−1
将离散化的值代入上述傅里叶正变换并应用梯形积分公式得：
频域离散化
P(ωj)=∫−∞+∞p(t)e−iωjtdt=k=0∑N−1p(tk)e−iωtk⋅Δt=Δtk=0∑N−1p(tk)e−iN2πkj
代入上述傅里叶逆变换并应用梯形积分公式得：
u(tk)=2π1∫−∞+∞U(ω)eiωtkdω=2π1∫−∞+∞H(iω)P(ω)eiωtkdω=2π1j=0∑N−1H(iωj)P(ωj)eiωjtkΔω=Tp1j=0∑N−1H(iωj)P(ωj)eiN2πkj
进一步的，如果取N=2m，再利用简谐函数周期性的特点，变为快速傅里叶变换，可以大大加快分析速度和减少工作量。
注意：
1、离散傅里叶变换将非周期时间函数周期化，使得外荷载变成周期性荷载，原荷载的持续时间Tp变成周期性荷载的周期。
非周期荷载周期化
2、由此结构的动力反应也被周期化，因此要增加足够多的0点以增大外荷载持续时间Tp，保证在所计算的时间段[0,Tp]内，结构的位移能衰减到0。
动力反应周期化
3、时间步长Δt=Tp/N
4、频率步长（频率分辨率）Δf=1/Tp，Δω=2π/Tp，高的频率分辨率有助于更精细的描述频谱的分布规律和局部特征。例如在使用半功率带宽法测量结构的阻尼比时，分辨率的大小对正确的确定半带宽就很重要。
5、频谱的下限频率等于频率分辨率，f1=Δf=1/Tp
6、频谱的上限频率称为Nyquest频率，是离散数值采样信号所能反应的最高频率fN=21⋅Δt1。
7、满足结构动力分析精度要求的最高频率为：fr≤21fN。
计算方法2： 杜哈曼积分法-时域分析方法
前提条件： 结构为线弹性体系，满足叠加原理。
单位脉冲：作用时间很短，冲量等于1的荷载。
单位脉冲反应函数：单位脉冲作用下体系的动力反应时程。
单位脉冲
Δ(t−τ)={∞,t=τ0，t=τ (ε→0，积分为1)
零初始条件下，在t=τ时刻一个单位脉冲作用在单自由度体系上，使结构质点得到一个单位冲量，根据动量定理：
mu¨(τ+ε)−0=∫ττ+εp(t)dt=1
得到初速度（ε→0）：
u˙(τ)=m1
由于脉冲作用时间很短，质点的初位移为0（ε→0）：
u(τ)=0
则有阻尼体系的单位脉冲反应函数为：
h(t−τ)=e−ζωn(t−τ)[u(τ)cosωD(t−τ)+ωDu˙(τ)+ζωnu(τ)sinωD(t−τ)]=⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧mωD1e−ζωn(t−τ)sinωD(t−τ)，t≥τ0，t<τ
对于任意载荷p(t)，首先将其离散成一系列脉冲，其中任意脉冲的动力反应为：
du(t)=p(τ)dτh(t−τ)，t>τ
在任意时刻t，结构的反应等于t以前所有脉冲作用下反应的和：
u(t)=∫0tdu=∫0tp(τ)h(t−τ)dτ
上式为杜哈曼积分：任意荷载作用下单自由度体系的反应等于作用于结构的外荷载与单位脉冲反应函数的卷积。
杜哈曼积分
有阻尼体系的动力反应的杜哈曼积分公式为：
u(t)=mωD1∫0tp(τ)e−ζωn(t−τ)sinωD(t−τ)dτ，t≥τ
注意：
1、杜哈曼积分法给出的解是一个由动力荷载引起的相应于零初始条件下的特解。如果初始条件不为零，则需要叠加由非零初始条件引起的自由振动。
2、杜哈曼积分法给出了计算线性单自由度体系在任意荷载下动力反应的一般解析解。当荷载p(t)函数比较复杂时，需要通过数值积分方法求解，但其计算效率不高，因为对于计算任意一个时间点t的反应，都需要从0积到t。这时需要使用效率更高的数值解法-时域逐步积分法。
