单自由度体系：结构的运动状态仅需要一个几何参数即可以确定，包括了结构动力分析中涉及的所有物理量-集中质量m，阻尼系数c，弹簧刚度k。很多实际的动力问题可以直接按单自由度体系进行分析计算。
结构动力学分析中常用的单自由度体系力学模型
单自由度体系运动方程的一般形式形式：
m u ¨ ( t ) + c u ˙ ( t ) + k u ( t ) = p ( t ) m u ¨ ( t ) + c u ˙ ( t ) + k u ( t ) = p ( t )
其中，u ( t ) u ( t ) m m c c k k p ( t ) p ( t )
自由振动指的是结构受到扰动离开平衡位置以后，不再受任何外力影响的振动过程。c = 0 c = 0 p ( t ) = 0 p ( t ) = 0
m u ¨ ( t ) + k u ( t ) = 0 m u ¨ ( t ) + k u ( t ) = 0
系统受到扰动的初始条件(初始位置和初始速度)表示为：
u ( t ) ∣ t = 0 = u ( 0 ) ， u ˙ ( t ) ∣ t = 0 = u ˙ ( 0 ) u ( t ) ∣ t = 0 = u ( 0 ) ， u ˙ ( t ) ∣ t = 0 = u ˙ ( 0 )
求解上述二阶齐次常微分方程，设解的形式为：
u ( t ) = A e s t u ( t ) = A e s t
代入方程得：
( m s 2 + k ) A e s t = 0 ( m s 2 + k ) A e s t = 0
解得两个虚根为：s 1 = i ω n ， s 2 = − i ω n s 1 = i ω n ， s 2 = − i ω n ω n = k / m ω n = k / m 圆频率 。由此得到运动方程的通解为：
u ( t ) = A 1 e i ω n t + A 2 e − i ω n t u ( t ) = A 1 e i ω n t + A 2 e − i ω n t
其中A 1 ， A 2 A 1 ， A 2 t t
u ( t ) = A cos ω n t + B sin ω n t u ( t ) = A cos ω n t + B sin ω n t
其中A ， B A ， B A = u ( 0 ) A = u ( 0 ) B = u ˙ ( 0 ) ω n B = ω n u ˙ ( 0 )
u ( t ) = u ( 0 ) cos ω n t + u ˙ ( 0 ) ω n sin ω n t u ( t ) = u ( 0 ) cos ω n t + ω n u ˙ ( 0 ) sin ω n t
上式表明，单自由度体系的无阻尼振动为简谐运动，其中
ω n = k / m ω n = k / m
运动幅值
u 0 = m a x [ u ( t ) ] = [ u ( 0 ) ] 2 + [ u ˙ ( 0 ) ω n ] 2 u 0 = m a x [ u ( t ) ] = [ u ( 0 ) ] 2 + [ ω n u ˙ ( 0 ) ] 2
注：结构的圆频率 ω n ω n R a d / s R a d / s 自振频率 f = ω n 2 π f = 2 π ω n H z H z 自振周期 T n = 1 f T n = f 1 s s
无阻尼体系的自由振动
在此c ≠ 0 c = 0 p ( t ) = 0 p ( t ) = 0
m u ¨ ( t ) + c u ˙ ( t ) + k u ( t ) = 0 m u ¨ ( t ) + c u ˙ ( t ) + k u ( t ) = 0
此时微分方程的特征方程变为：
m s 2 + c s + k = 0 m s 2 + c s + k = 0
解得两个特征根为：
s 1 , 2 = − c 2 m ± ( c 2 m ) 2 − ω n 2 s 1 , 2 = − 2 m c ± ( 2 m c ) 2 − ω n 2
代入u ( t ) = A e s t u ( t ) = A e s t c c
当( c 2 m ) 2 − ω n 2 ＞ 0 ( 2 m c ) 2 − ω n 2 ＞ 0 c ＞ 2 m ω n c ＞ 2 m ω n
当( c 2 m ) 2 − ω n 2 ＜ 0 ( 2 m c ) 2 − ω n 2 ＜ 0 c ＜ 2 m ω n c ＜ 2 m ω n
当( c 2 m ) 2 − ω n 2 = 0 ( 2 m c ) 2 − ω n 2 = 0 c = 2 m ω n c = 2 m ω n
临界阻尼 ：使体系自由振动反应中不出现往复振动所需的最小阻尼值，它是完全由结构的刚度和质量决定的常数，用c c r c c r
c c r = 2 m ω n = 2 k m c c r = 2 m ω n = 2 k m
阻尼比 ：阻尼系数c c c c r c c r ζ ζ
ζ = c c c r = c 2 m ω n = c 2 k m ζ = c c r c = 2 m ω n c = 2 k m c
过阻尼体系：ζ ＞ 1 ( c ＞ c c r ) ζ ＞ 1 ( c ＞ c c r )
s 1 , 2 = − c 2 m ± ( c 2 m ) 2 − ω n 2 = − ζ ω n ± ( ζ ω n ) 2 − ω n 2 = − ( ζ ∓ ζ 2 − 1 ) ω n s 1 , 2 = − 2 m c ± ( 2 m c ) 2 − ω n 2 = − ζ ω n ± ( ζ ω n ) 2 − ω n 2 = − ( ζ ∓ ζ 2 − 1 ) ω n
代入得系统的运动方程为：
u ( t ) = A e ( ζ 2 − 1 − ζ ) ω n t + B e − ( ζ + ζ 2 − 1 ) ω n t u ( t ) = A e ( ζ 2 − 1 − ζ ) ω n t + B e − ( ζ + ζ 2 − 1 ) ω n t
可以看出过阻尼体系的运动方程为衰减运动，体系不发生往复振动。
临界阻尼体系：ζ = 1 ( c = c c r ) ζ = 1 ( c = c c r )
s 1 , 2 = − c 2 m ± ( c 2 m ) 2 − ω n 2 = − ζ ω n ± ( ζ ω n ) 2 − ω n 2 = − ω n s 1 , 2 = − 2 m c ± ( 2 m c ) 2 − ω n 2 = − ζ ω n ± ( ζ ω n ) 2 − ω n 2 = − ω n
系统运动方程的形式为：
u ( t ) = A 1 e − ω n t + A 2 t e − ω n t u ( t ) = A 1 e − ω n t + A 2 t e − ω n t
代入初始条件 u ( t ) ∣ t = 0 = u ( 0 ) ， u ˙ ( t ) ∣ t = 0 = u ˙ ( 0 ) u ( t ) ∣ t = 0 = u ( 0 ) ， u ˙ ( t ) ∣ t = 0 = u ˙ ( 0 )
u ( t ) = [ u ( 0 ) ( 1 + ω n t ) + u ˙ ( 0 ) t ] e − ω n t u ( t ) = [ u ( 0 ) ( 1 + ω n t ) + u ˙ ( 0 ) t ] e − ω n t
可以看出临界阻尼体系自由振动时是否发生往复运动取决于初始条件。
临界阻尼体系的自由振动曲线
低阻尼体系：ζ < 1 ( c < c c r ) ζ < 1 ( c < c c r )
s 1 , 2 = − c 2 m ± ( c 2 m ) 2 − ω n 2 = − ζ ω n ± i ω n ( 1 − ζ 2 = − ζ ω n ± i ω D s 1 , 2 = − 2 m c ± ( 2 m c ) 2 − ω n 2 = − ζ ω n ± i ω n ( 1 − ζ 2 = − ζ ω n ± i ω D
注：ω D = ω n ( 1 − ζ 2 ω D = ω n ( 1 − ζ 2 阻尼体系的圆频率 ，单位为R a d / s R a d / s 阻尼结构的自振频率 f D = ω D 2 π f D = 2 π ω D H z H z 阻尼结构的自振周期 T D = 1 f D T D = f D 1 s s 阻尼的存在使体系自由振动的自振频率变小，自振周期变长 。
方程通解为：
u ( t ) = e − ζ ω n t ( A cos ω D t + B sin ω D t ) u ( t ) = e − ζ ω n t ( A cos ω D t + B sin ω D t )
代入初始条件 u ( t ) ∣ t = 0 = u ( 0 ) ， u ˙ ( t ) ∣ t = 0 = u ˙ ( 0 ) u ( t ) ∣ t = 0 = u ( 0 ) ， u ˙ ( t ) ∣ t = 0 = u ˙ ( 0 )
u ( t ) = e − ζ ω n t [ u ( 0 ) cos ω D t + u ˙ ( 0 ) + ζ ω n u ( 0 ) ω D sin ω D t ] u ( t ) = e − ζ ω n t [ u ( 0 ) cos ω D t + ω D u ˙ ( 0 ) + ζ ω n u ( 0 ) sin ω D t ]
低阻尼、临界阻尼和过阻尼体系的自由振动曲线对比如下：
低阻尼、临界阻尼和过阻尼体系的自由振动曲线
在此c = 0 c = 0 p ( t ) = p 0 sin ω t p ( t ) = p 0 sin ω t
m u ¨ ( t ) + k u ( t ) = p 0 sin ω t m u ¨ ( t ) + k u ( t ) = p 0 sin ω t
初始条件仍为
u ( t ) ∣ t = 0 = u ( 0 ) u ( t ) ∣ t = 0 = u ( 0 )
u ˙ ( t ) ∣ t = 0 = u ˙ ( 0 ) u ˙ ( t ) ∣ t = 0 = u ˙ ( 0 )
运动方程为带有初值条件的非齐次二阶常微分方程，其解的形式为：全解=齐次方程通解+特解。
u c ( t ) = A cos ω n t + B sin ω n t u c ( t ) = A cos ω n t + B sin ω n t
设特解为：
u p ( t ) = C cos ω t + D sin ω t u p ( t ) = C cos ω t + D sin ω t
代入运动方程解得：
C = p 0 k 1 1 − ( ω / ω n ) 2 C = k p 0 1 − ( ω / ω n ) 2 1
D = 0 D = 0
则全解
u ( t ) = u c ( t ) + u p ( t ) = A cos ω n t + B sin ω n t + p 0 k 1 1 − ( ω / ω n ) 2 sin ω t u ( t ) = u c ( t ) + u p ( t ) = A cos ω n t + B sin ω n t + k p 0 1 − ( ω / ω n ) 2 1 sin ω t
系数A A B B
A = u ( 0 ) A = u ( 0 )
B = u ˙ ( 0 ) ω n − p 0 k ω / ω n 1 − ( ω / ω n ) 2 B = ω n u ˙ ( 0 ) − k p 0 1 − ( ω / ω n ) 2 ω / ω n
最终得到无阻尼体系的简谐荷载反应：
u ( t ) = u ( 0 ) cos ω n t + [ u ˙ ( 0 ) ω n − p 0 k ω / ω n 1 − ( ω / ω n ) 2 ] sin ω n t ⏟ 瞬态反应 + u s t 1 1 − ( ω / ω n ) 2 sin ω t ⏟ 稳态反应 u ( t ) = 瞬 态 反 应 u ( 0 ) c o s ω n t + [ ω n u ˙ ( 0 ) − k p 0 1 − ( ω / ω n ) 2 ω / ω n ] s i n ω n t + 稳 态 反 应 u s t 1 − ( ω / ω n ) 2 1 s i n ω t
其中等效静位移
u s t = p 0 k u s t = k p 0
在此c ≠ 0 c = 0 p ( t ) = p 0 sin ω t p ( t ) = p 0 sin ω t
m u ¨ ( t ) + c u ˙ ( t ) + k u ( t ) = p 0 sin ω t m u ¨ ( t ) + c u ˙ ( t ) + k u ( t ) = p 0 sin ω t
初始条件仍为
u ( t ) ∣ t = 0 = u ( 0 ) u ( t ) ∣ t = 0 = u ( 0 )
u ˙ ( t ) ∣ t = 0 = u ˙ ( 0 ) u ˙ ( t ) ∣ t = 0 = u ˙ ( 0 )
齐次方程通解：
u c ( t ) = e − ζ ω n t ( A cos ω D t + B sin ω D t ) u c ( t ) = e − ζ ω n t ( A cos ω D t + B sin ω D t )
其中，ω D = ω n 1 − ζ 2 ω D = ω n 1 − ζ 2
u p ( t ) = C cos ω t + D sin ω t u p ( t ) = C cos ω t + D sin ω t
解得：
C = u s t 1 − ( ω / ω n ) 2 [ 1 − ( ω / ω n ) 2 ] 2 + [ 2 ζ ( ω / ω n ) ] 2 C = u s t [ 1 − ( ω / ω n ) 2 ] 2 + [ 2 ζ ( ω / ω n ) ] 2 1 − ( ω / ω n ) 2
D = u s t − 2 ζ ω / ω n [ 1 − ( ω / ω n ) 2 ] 2 + [ 2 ζ ( ω / ω n ) ] 2 D = u s t [ 1 − ( ω / ω n ) 2 ] 2 + [ 2 ζ ( ω / ω n ) ] 2 − 2 ζ ω / ω n
则运动方程的全解：
u ( t ) = u c ( t ) + u p ( t ) = e − ζ ω n t ( A cos ω D t + B sin ω D t ) ⏟ 瞬态反应 + C cos ω t + D sin ω t ⏟ 稳态反应 u ( t ) = u c ( t ) + u p ( t ) = 瞬 态 反 应 e − ζ ω n t ( A c o s ω D t + B s i n ω D t ) + 稳 态 反 应 C c o s ω t + D s i n ω t
系数A A B B
A = u ( 0 ) + u s t 2 ζ ω / ω n [ 1 − ( ω / ω n ) 2 ] 2 + [ 2 ζ ( ω / ω n ) ] 2 A = u ( 0 ) + u s t [ 1 − ( ω / ω n ) 2 ] 2 + [ 2 ζ ( ω / ω n ) ] 2 2 ζ ω / ω n
B = u ˙ ( 0 ) + ζ ω n u ( 0 ) ω D − u s t 1 − ( ω / ω n ) 2 − 2 ζ 2 [ 1 − ( ω / ω n ) 2 ] 2 + [ 2 ζ ( ω / ω n ) ] 2 ω / ω n 1 − ζ 2 B = ω D u ˙ ( 0 ) + ζ ω n u ( 0 ) − u s t [ 1 − ( ω / ω n ) 2 ] 2 + [ 2 ζ ( ω / ω n ) ] 2 1 − ( ω / ω n ) 2 − 2 ζ 2 1 − ζ 2 ω / ω n
其中等效静位移
u s t = p 0 k u s t = k p 0
无阻尼体系 在简谐荷载作用下的稳态反应 ：
u ( t ) = u s t 1 1 − ( ω / ω n ) 2 sin ω t u ( t ) = u s t 1 − ( ω / ω n ) 2 1 sin ω t
有阻尼体系 在简谐荷载作用下的稳态反应 ：
u ( t ) = C cos ω t + D sin ω t = u 0 sin ( ω t − ϕ ) u ( t ) = C cos ω t + D sin ω t = u 0 sin ( ω t − ϕ )
其中稳态振动的振幅
u 0 = C 2 + D 2 = u s t 1 [ 1 − ( ω / ω n ) 2 ] 2 + [ 2 ζ ( ω / ω n ) ] 2 u 0 = C 2 + D 2 = u s t [ 1 − ( ω / ω n ) 2 ] 2 + [ 2 ζ ( ω / ω n ) ] 2 1
稳态振动与简谐荷载的相角
ϕ = − 1 2 ζ ( ω / ω n ) 1 − ( ω / ω n ) 2 ϕ = tan − 1 1 − ( ω / ω n ) 2 2 ζ ( ω / ω n )
动力放大系数 R d R d
R d = u 0 u s t = 1 [ 1 − ( ω / ω n ) 2 ] 2 + [ 2 ζ ( ω / ω n ) ] 2 R d = u s t u 0 = [ 1 − ( ω / ω n ) 2 ] 2 + [ 2 ζ ( ω / ω n ) ] 2 1
动力放大系数
有以下相关结论：ω / ω n ≥ 2 ω / ω n ≥ 2 R d ≤ 1 R d ≤ 1 振动台固有频率一般要求大于工作频率的2 2 ）；ζ ≥ 1 2 ζ ≥ 2 1 R d ≤ 1 R d ≤ 1 ζ < 1 2 ζ < 2 1 R d R d ω / ω n = 1 − 2 ζ 2 ω / ω n = 1 − 2 ζ 2 ω D = ω n ( 1 − ζ 2 ω D = ω n ( 1 − ζ 2
( R d ) m a x = 1 2 ζ 1 − ζ 2 ( R d ) m a x = 2 ζ 1 − ζ 2 1
4、无阻尼体系共振时的动力反应时程（ω = ω n ω = ω n
u ( t ) = − u s t 2 ( ω n t cos ω n t − sin ω n t ) u ( t ) = − 2 u s t ( ω n t cos ω n t − sin ω n t )
无阻尼体系共振时的动力反应时程
5、有阻尼体系共振时的动力反应时程（ω = ω n ω = ω n
u ( t ) = u s t 2 ζ [ e − ζ ω n t ( cos ω D t + ζ 1 − ζ 2 sin ω D t ) − cos ω n t ] u ( t ) = 2 ζ u s t [ e − ζ ω n t ( cos ω D t + 1 − ζ 2 ζ sin ω D t ) − cos ω n t ]
有阻尼体系共振时的动力反应时程
6、阻尼体系动力反应与荷载的相位关系：有阻尼体系的动力反应（位移）与动力荷载之间存在反应滞后 现象，滞后时间由相角 ϕ ϕ
ϕ = − 1 2 ζ ( ω / ω n ) 1 − ( ω / ω n ) 2 （ 0 ≤ ϕ ≤ π ） ϕ = tan − 1 1 − ( ω / ω n ) 2 2 ζ ( ω / ω n ) （ 0 ≤ ϕ ≤ π ）
阻尼体系动力反应与荷载的相位关系
根据达朗贝尔原理：f I + f C + f S = p ( t ) f I + f C + f S = p ( t ) f S = k u f S = k u f C = c u ˙ f C = c u ˙ f I = m u ¨ f I = m u ¨ ω / ω n → 0 ω / ω n → 0 ω → 0 ω → 0 u ˙ ， u ¨ → 0 u ˙ ， u ¨ → 0 f C ， f I → 0 f C ， f I → 0 f S = k u ≈ p ( t ) f S = k u ≈ p ( t ) u u p ( t ) p ( t ) ϕ → 0 ϕ → 0 p ( t ) p ( t ) ω / ω n = 1 ω / ω n = 1 f I = m u ¨ = − m ω 2 u = − m ω n 2 u = − k u = − f S f I = m u ¨ = − m ω 2 u = − m ω n 2 u = − k u = − f S f C = c u ˙ = p ( t ) f C = c u ˙ = p ( t ) u ˙ u ˙ p ( t ) p ( t ) u u u ˙ u ˙ 90 ° 9 0 ° u u p ( t ) p ( t ) 90 ° 9 0 ° ϕ = 90 ° ϕ = 9 0 ° 测试试件动态特性时，在试件的固有频率点相位滞后90 ° 9 0 ° ）；ω / ω n → ∞ ω / ω n → ∞ ω → ∞ ω → ∞ f I ≫ f S ， f C f I ≫ f S ， f C f I = m u ¨ ≈ p ( t ) f I = m u ¨ ≈ p ( t ) u ¨ u ¨ p ( t ) p ( t ) u u u ¨ u ¨ 180 ° 1 8 0 ° u u p ( t ) p ( t ) 180 ° 1 8 0 ° ϕ = 180 ° ϕ = 1 8 0 °
