位移控制（力或其它控制也类似）的闭环控制原理图如图1所示，PID环节的输入是位移指令值和实际值的差值，误差经过比例、积分、微分计算得到的PID输出，在Servotest的Pulsar控制系统中还会辅助反馈及前馈得到控制综合输出量后，作用在伺服阀上，作动器产生位移量后进一步反馈给控制器，形成了一个闭环反馈控制回路。在Servotest控制系统中，PIDF配合ICS的补偿策略，可以满足绝大多数应用场景的需求，比如振动台、四通道等。
典型的PIDF控制输出与输入的关系为
u(t)=Kp(e(t)+Ti1∫0te(t)dt+Tddtde(t))
拉氏变换后
G(s)=E(s)U(s)=Kp(1+Tis1+Tds)
以一个幅值为r的阶跃信号r(t)为例，通过一个P控制器，输出到一个时间常数为a的一阶系统为例，模型框图如下：
R(s)=L[r(t)]=sr
而Kp与一阶系统as+11组成的单位反馈闭环系统的传递函数为:
G(s)=1+Kp∗as+11Kp∗as+11=as+1+KpKp
由于Kp>0，则在任意一个频率点传递函数增益为：
∣G(jω0)∣=∣∣∣∣∣∣jω0a+1+KpKp∣∣∣∣∣∣=(ω0a)2+(Kp+1)2Kp2=(Kpω0a)2+(1+Kp1)21
该增益幅值与Kp的大小正相关，即表明响应速度正相关。
该系统的阶跃响应输出c(t)的拉氏变换为：
C(s)=R(s)G(s)=s(as+1+Kp)rKp
C(s)=arKps(s+a1+Kp)1=1+KprKps(s+a1+Kp)a1+Kp=1+KprKps(s+A)A=1+KprKp(s1−s+A1)
c(t)=L−1C(s)=L−1[1+KprKp(s1−s+A1)]=1+KprKp(L−1[s1]−L−1[s+A1])=1+KprKp(1−e−At)
将A进行还原后，得到阶跃响应如下式：
⇒c(t)=1+KprKp(1−e−a1+Kpt)
t→∞limc(t)=t→∞lim[1+KprKp(1−e−a1+Kpt)]=1+KprKp
也可以根据终值定理：
t→∞limc(t)=s→0limsC(s)=s→0limss(as+1+Kp)rKp=s→0limas+1+KprKp=1+KprKp
当a=0.2 Kp=1时,时间常数τ=1+Kpa∣∣∣∣∣a=0.2 Kp=1=0.05s。
故，稳态终值输出将是输入的1+KpKp=0.5，时间常数处的数值为0.632*0.5=0.316，与下图的单位阶跃输出时程的仿真结果一致。
PID_P_simple.m
单位阶跃输入时，不同Kp对应的输出结果为：
| Kp |
时间常数 |
时间常数处的值 |
调节时间 |
调节值 |
调节百分百 |
稳态值 |
稳态误差 |
| 1 |
0.1 s |
0.316 mm |
0.4 s |
0.491 mm |
98.2% |
0.5 mm |
-0.5 mm |
| 2 |
0.067 s |
0.421 mm |
0.267 s |
0.654 mm |
98.2% |
0.667 mm |
-0.333 mm |
| 3 |
0.05 s |
0.474 mm |
0.2 s |
0.736 mm |
98.2% |
0.75 mm |
-0.25 mm |
| 4 |
0.04 s |
0.506 mm |
0.16 s |
0.785 mm |
98.2% |
0.8 mm |
-0.2 mm |
| 5 |
0.033 s |
0.527 mm |
0.133 s |
0.818 mm |
98.2% |
0.833 mm |
-0.167 mm |
上图仿真结果的稳态值与Kp的影响与理论计算基本一致,Kp=1，c(t)∣∣∣t→∞=0.5，Kp=4，c(t)∣∣∣t→∞=0.8。
而输入的稳态值为
t→∞limr(t)=s→0limsR(s)=s→0lim[ssr]=r
从而稳态误差为：
t→∞lime(t)=t→∞lim[c(t)−r(t)]=1+KprKp−r=1+Kp1r
对于更复杂的系统，分析方法也基本类似，以下方闭环控制框图为例，
⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧G1=τ1s+11∣∣∣τ1=0.015G2=τ2s1∣∣∣τ2=0.068G3=τ3s+1k3∣∣∣k3=36 , τ3=0.0016G4=k4∣∣∣k4=5
其中G1 和G2组成的单位反馈闭环传递函数为：
G12=1+G1G2G1G2=1+(τ1s+1)τ2s1(τ1s+1)τ2s1=(τ1s+1)τ2s+11=τ1τ2s2+τ2s+11
则Kp，G12，G3 和G4组成的Kfb反馈闭环传递函数为：
⇒GP=1+KpG12G3G4KfbKpG12G3G4=1+KpG12G3G4KfbKpG12G3G4=1+Kpτ1τ2s2+τ2s+11τ3s+1k3k4KfbKpτ1τ2s2+τ2s+11τ3s+1k3k4=(τ1τ2s2+τ2s+1)(τ3s+1)+Kpk3k4KfbKpk3k4=τ1τ2τ3s3+(τ1τ2+τ2τ3)s2+(τ2+τ3)s+1+Kpk3k4KfbKpk3k4=1.632e−6s3+1.129e−3s2+0.0696s+1+3.6Kp180Kp
根据终值定理：
t→∞limc(t)=s→0limsC(s)=s→0limsR(s)G(s)=s→0limss11.632e−6s3+1.129e−3s2+0.0696s+1+3.6Kp180Kp=1+3.6Kp180Kp
PID_P.m
| Kp |
稳态值 |
稳态误差 |
目标值 |
| 1 |
39.1 rpm |
-10.9 rpm |
50 rpm |
| 2 |
43.9 rpm |
-6.1 rpm |
50 rpm |
| 3 |
45.8 rpm |
-4.2 rpm |
50 rpm |
| 4 |
46.8 rpm |
-3.2 rpm |
50 rpm |
| 5 |
47.4 rpm |
-2.6 rpm |
50 rpm |
小结：
- 比例环节的作用是对偏差瞬间作出反应。偏差一且产生，控制器立即产生控制作用，使控制量向减少偏差的方向变化。
- 单纯的P控制的闭环传递函数（含一阶被控对象）$ G(s)=\cfrac{K_p }{as+1+K_p}，存在一个负实数极点，增益\big | G(s)\big|随比例系数K_p增加而增加，控制作用越强，则过渡过程越快，同时阶跃响应的稳态值随随K_p$增加而增加。
- 相同Kp下，随着频率s=jω增加，增益减小，体现在实际系统中高频跟随比较差；
- 对于实际的系统，振动台或作动器，往往并不是一阶惯性环节，而是多种一阶和二级的组合，比如例2，随着Kp越大，也越容易产生振荡，破坏系统的稳定性，故而，比例系数选择必须恰当，才能过渡时间少，静差小而又稳定的效果。
以第一个简单惯性环节的单位负反馈闭环系统增加积分环节为例：
根据前面P控制的传递函数，增加一个积分环节，即增加GPI(s)=Tis1+1串联至回路当中。
G(s)======1+Kpas+11GPI(s)Kpas+11GPI(s)1+Kpas+11(Tis1+1)Kpas+11(Tis1+1)(as+1)Tis+Kp(Tis+1)Kp(Tis+1)aTis2+(Kp+1)Tis+KpKp(Tis+1)s2+aKp+1s+aTiKpaTiKp(Tis+1)s2+2ζωns+ωn2ωn2(Tis+1)
⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧ωn=ζ=aTiKp2aωnKp+1=2aKp+1KpaTi=2Kp+1aKpTi
上述系统可近似为二阶系统，为如果需要其消除稳态误差的同时不震荡，则要求ζ>1，即：
Ti>(Kp+1)24aKp
按照上述Simulink模型中Kp=1,a=0.2,则要求Ti>0.2才能保证系统不震荡。
根据终值定理，得到单位阶跃响应的稳态值：
t→∞limc(t)=s→0limsR(s)G(s)=s→0limaTis2+(Kp+1)Tis+KpKp(Tis+1)=1
即当存在积分环节时，单位阶跃响应的稳态值始终为1，与预期的消除稳态误差的目的一致。
PID_PI_simple.m
对比是否有积分环节及积分环节不同的时间常数Ti的影响如下图所示。
⇒GPI=1+KpGPI(s)G12G3G4KfbKpGPI(s)G12G3G4=1+KpTisTis+1τ1τ2s2+τ2s+11τ3s+1k3k4KfbKpTisTis+1τ1τ2s2+τ2s+11τ3s+1k3k4=(Tis)(τ1τ2s2+τ2s+1)(τ3s+1)+Kp(Tis+1)k3k4KfbKp(Tis+1)k3k4=Tiτ1τ2τ3s4+Ti(τ1τ2+τ2τ3)s3+Ti(τ2+τ3)s2+Ti(1+Kpk3k4Kfb)s+Kpk3k4KfbKpk3k4Tis+Kpk3k4=1.632e−6Tis4+1.129e−3Tis3+0.0696Tis2+(1+3.6Kp)Tis+3.6Kp180Tis+180Kp
由于不方便进行拉氏反变换得到准确的时域解析表达式，根据终值定理，单位阶跃响应的稳态值为，通过MATLAB仿真得到不同参数时的阶跃响应及闭环传递函数为：
t→∞limc(t)=s→0limsC(s)=s→0limsR(s)G(s)=s→0limss11.632e−6Tis4+1.129e−3Tis3+0.0696Tis2+(1+3.6Kp)Tis+3.6Kp180Tis+180Kp=3.6Kp180Kp=50
PID_PI.m
小结：
- 对于一阶惯性系统的闭环控制增加积分环节后，传递函数变为了近似的二阶系统G(s)=s2+2ζωns+ωn2ωn2(Tis+1)，从而实现系统消除稳态误差(单位阶跃终值limx→0G(s)=1）。
- 二阶系统在共振频率前的响应较高，即可提升频响特性，Kp=1，Ti=0.07的响应要高于Kp=3，Ti=null的响应。
- 组成的二阶系统当存在2个负实数极点为过阻尼系统（Ti较大）；当存在两个负半平面的复极点为欠阻尼系统（Ti较小），不会出现0阻尼情况。
- 当Kp不变的情况下，当积分时间常数减小（增大积分的作用，$\omega _n=\sqrt{\cfrac{K_p}{aT_i}} 会增大，\zeta=\cfrac{K_p+1}{2}\sqrt{\cfrac{T_i}{aK_p}}减小），系统的响应会加快，如果T_i$进一步减小，系统的传递函数逐步变为欠阻尼状态，导致出现震荡。
- I积分作用分析：积分环节的调节作用虽然会消除静态误差，但也会降低系统的响应速度【不完全正确，刚开始增加积分是可以提升响应速度的，但为了降低超调量，提高积分常数，会在已提高的响应速度的基础上降低响应，但通常还是要比无积分环节的响应要快】，增加系统的超调量。积分常数越大，积分的积累作用越弱，这时系统在过渡时不会产生振荡；但是增大积分常数会减慢静态误差的消除过程，消除偏差所需的时间也较长，但可以减少超调量，提高系统的稳定性。
对于一阶惯性系统，当I控制消除稳态误差的同时，根据系统的阻尼比特征可发现，ζ与Kp有关系先减后增，在Kp=1s达到最小，随后随Kp增大而增大(而不像直觉认为增大Kp会更容易导致系统震荡的)。注意：该结论不具有通用性，仅针对一阶惯性系统，针对后面的复杂系统，增加Kp并不能起到增加阻尼的作用。
⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧ωn=ζ=aTiKp2aωnKp+1=2aKp+1KpaTi=2Kp+1aKpTi=2Kp+Kp1aTi
PID_PI_simple_AdjP.m
上述仿真结果直观显示当Kp=1时超调量为最大，此时阻尼比最小。
对于复杂系统的仿真如下，增加比例增益并不能有效增加阻尼以减小超调量：
PID_PI_AdjP.m
经过PI控制后，稳态误差得以消除，频响特性有所提升，但进一步提升频响的过程中同时带来了一定的震荡作为代价，为降低震荡引入微分环节，由于微分环节需要考虑噪声因此一般需要配置一个低通滤波器环节，如下图例5所示即为Gs3=0.0032s+1s为微分环节和50Hz的低通滤波器的组合。
G(s)====1+as+11GPID(s)as+11GPID(s)1+Kpas+11(Tis1+1+Tds)Kpas+11(Tis1+1+Tds)(as+1)Tis+Kp(TdTis2+Tis+1)Kp(TdTis2+Tis+1)(aTi+KpTdTi)s2+(Kp+1)Tis+KpKpTdTis2+KpTis+Kp
通常上述式中a≪KpTd，（如a=0.2，Td=2，Kp=3，Ti=0.1 ）即KpTdTi=0.6≈aTi+KpTdTi=0.62，上式组成一个接近于陷波滤波器的特征（ωz=Kp/(KpTdTi)=2.23Hz,ωp=Kp/(aTi+KpTdTi)=2.20Hz），即除共振频率附近有一定的衰减（衰减幅度为Kp+1Kp=0.75，当Td Kp进一步增大时，差异会进一步缩小），其他各处的传函接近于1aTi+KpTdTiKpTdTi=0.97。
上图横纵坐标由于比例不一致，导致直观看上去虚轴上到极点的距离始终大于到零点的距离，实际调整XY的缩放一致后，明显可以看到在6.47Hz附近，到零点的距离大于到极点的距离，而到另外一端较为接近，此时应该综合而言增益应该大于1，即传递函数增益此刻大于0dB。
小结：
- 以一阶系统的PID控制演变过程为例，P控制系统较为柔和，存在稳态误差，增加I控制后，为了达到一定的频响预期，系统此时近似欠阻尼二阶系统，在一定频率点存在一定的震荡，为解决震荡问题，引入D控制，系统的传函伯德图变成一条近似的陷波滤波器。
- 从零极点的角度，P控制只有一个负实数零点，低通特征，PI控制两个负实数极点（Ti较大）或两个左半平面共轭复数极点（Ti较小）和一个负实数的零点，二阶系统特征，PID控制两个左半平面共轭复数极点和PID控制两个左半平面共轭复数极点（Ti较小）的零点,且零极点较近，即高频和低频的频响特性都较接近1.
- 实际系统的Td为何可以为负数，待讨论。
⇒⇒⇒G(s)=R(s)KvGv(s)+(R(s)−C(s))GPID(s))G1(s)=C(s)R(s)KvGv(s)G1(s)+R(s)GPID(s)1G(s)=(1+GPID(s)G1(s))C(s)R(s)C(s)=1+GPID(s)G1(s)KvGv(s)G1(s)+GPID(s)G1(s)R(s)C(s)=1+GPID(s)G1(s)G1(s)(KvGv(s)+GPID(s))
代入相应参数后：
G(s)==1+as+11Kp(Tis1+1+Tds)as+11[Kvs+Kp(Tis1+1+Tds)](aTi+KpTdTi)s2+(Kp+1)Tis+Kp(KvTi+KpTdTi)s2+KpTis+Kp
上式与PID控制对比，仅在分子的s2项的系数由KpTdTi提升至KvTi+KpTdTi，从而实现在高频的衰减更小，更接近于1。
PID_PIDF_simple.m
在结果PID仿真的基础上增加前馈，参数a=0.2，Td=2，Kp=3，Ti=0.02，Kv=0.12，带入系数后得到传递函数为：
GPIDF(s)=0.124s2+0.08s+30.1224s2+0.06s+3
增加前馈环节后，阶跃响应有少许提升。
频响在高频部分更接近于1.
零极点坐标放大后，零点未变化，极点更靠近零点，在ωn处陷波效果要更浅一些，有利于系统的频响提升。
PID控制器学习笔记-知乎
二阶系统的最大超调量及各性能分析
